ヨーヨー

質問

糸を鉛直にして手を離すとき、ヨーヨーの落下する加速度ａと糸の張力Ｔ、
また糸が伸びきってから巻き上がる時の加速度と張力を求めたい。

（ただしヨーヨーは質量Ｍ、中心の周りの慣性モーメントＩ、糸の巻きつく部分は半径ｒ。）

まず、鉛直下方にｘ軸を取ると
Ｍａ＝Ｍｇ－Ｔ
回転角をθとすると、
ｖ＝ｒω　(ｖ＝ｒθ´)
重心の周りの角運動量は Ｉω　(Ｉθ´)

ここまでは分かったのですが、ほかにどのような条件を混ぜてａ、Ｔを求めてよいか分かりません。
ちなみに答えは
ａ＝ｇ／(１＋Ｉ/Ｍｒ＾2)
Ｔ＝ｇＭＩ／(Ｉ＋Ｍｒ＾2)
になります。

また、落下と上昇ともに答えが同じになるのはなぜなのでしょうか？

どなたか解説をよろしくお願いします。

回答No.4

oshiete_goo · ベストアンサー

＃１，２ですが，補足に対する回答です．

並進運動：Ｍａ＝Ｍｇ－Ｔ ・・・（１）
回転運動：Idω/dt(＝Id^2θ/dt^2)＝T・r ・・・（２）
拘束条件：ｖ＝rω　⇒　ａ＝rdω/dt ・・・（３）

(３)を(１)に代入，さらに両辺r倍して
Ｍr^2dω/dt＝Ｍｇr－Ｔr　・・・（４）
(４)＋(２)より
（Ｍr^2＋I）dω/dt＝Ｍｇr
⇔dω/dt＝Ｍｇr／(Ｍr^2＋I)　・・・（５）
r倍して(3)より
ａ＝Ｍｇr^2／(Ｍr^2＋I)＝ｇ／(１＋I／Ｍr^2)
これと(１)より
Ｔ＝Ｍｇ－Ｍａ
　＝Ｍｇ(１－ａ／ｇ)
　＝Ｍｇ{１－１／(１＋I／Ｍr^2)}
　＝ＭｇI／(Ｍr^2＋I)

お礼

回答ありがとうございます。
お礼が遅れてしまい、申し訳ありません。

詳しい回答で分かりやすかったです。
式の変形に工夫を感じるのですが、やっぱり慣れでしょうか…。
自分でも計算してみたところ、ちゃんと答えが出ました。
式の変形をもう少し練習したいと思います。

何度も補足をしてもらい、申し訳ありませんでした。
ありがとうございました。

回答No.3

motsuan

oshiete_gooさんのように運動方程式でも解けますが
エネルギーの形式からでも解けます。
位置エネルギーが全部運動エネルギーに変換されるとすると
運動エネルギー＝位置エネルギー
という式を立てればいいことが分かります。

運動エネルギー＝回転のエネルギー＋並進運動のエネルギー
(1/2)Iω^2+(1/2)M(rω)^2

位置エネルギー＝重力×距離
Mg∫(rdθ/dt)dt = Mgr∫ωdt

なので、あとは両辺をtで微分すると解が得られます
（（d/dt)∫ωdt=ωに注意 ）。

こう考えると何が良いかというと、まずＴが含まれない。
次にちょっとした解釈もできます。
運動エネルギー＝(1/2)Iω^2+(1/2)M(rω)^2
＝(1/2)（I/r^2+M)v^2
となって、重心の運動(重心の速さｖ）から見ると
(I/r^2+M)があたかも質量のように見えるということです。
M'=(I/r^2+M)
と置くと
(1/2)M'v^2=M'{Mg/(I/r^2+M)}h
となって（hは重心の高さ）新しい重力加速度g'は
g'=g{M/(I/r^2+M)}　（つまり、答えの加速度）
です。あとは、自由落下の式と同じで、
最下点でちょうど床に当たって跳ね返るのと同じように
同じ加速度で運動します。

お礼

回答ありがとうございます。
お礼が遅れてしまい、申し訳ありません。

エネルギーを使った解き方は考えてはいたのですが、途中までしか分からず挫折していました。
ひとつの見方ではなく、いろいろな方法で問題が解けると嬉しいです。

>重心の運動(重心の速さｖ）から見ると
(I/r^2+M)があたかも質量のように見えるということです。

なるほど。このような考え方もできるのですねぇ。
g'=g{M/(I/r^2+M)}　（つまり、答えの加速度） に納得です。

ありがとうございました。

回答No.2

oshiete_goo

＃１です．
失礼しました．間抜けなことに，ご質問の答の肝心の式
Idω/dt(＝Id^2θ/dt^2)＝T・r
がありませんでした．
角運動量の時間変化率＝糸の張力によるモーメント
です．

お礼

回答ありがとうございます。

教えていただいた式の意味は良く分かったのですが、どうしても答えがでません。
似たような答えにはなるのですが。
もし良かったら式の変形を教えてください。

＞放物運動の時と同じではありませんか．(速度に依存しない外力による加速度運動なので．)

なるほど。放物運動ですか…。
なんとなく違う答えになるような気がしたのですが、勘違いですね；

補足をよろしくお願いします。

回答No.1

oshiete_goo

糸の上端が固定されているとすると
「ほどける(または巻き付く)糸の長さ＝ヨーヨーの重心(中心)の移動距離」
という拘束条件(束縛条件)があるので，
時間微分して，速度についても加速度についても同様の関係が言えて，
重心加速度aと角加速度　θ''＝d^2θ/dt^2 について
　a＝rθ''
が成立します．

＞落下と上昇ともに答えが同じになるのはなぜなのでしょうか？
放物運動の時と同じではありませんか．(速度に依存しない外力による加速度運動なので．)