物理、慣性モーメントについて

質問

この問題の解き方、考え方を教えて下さい
問、慣性モーメントI、半径の滑車に糸を掛け、その両端に質量Ma、MbのおもりA,Bをつるした。
(1)上向きを正とし、おもりの加速度Aa、Abをもとめよ。
答え・・・Aa = (Mb-Ma)g / (Ma + Mb + (I/R^2))、Ab= (Ma-Mb)g / (Ma + Mb +(I/R^2))
(2)糸の張力Ta、Tbをもとめよ。
答え・・・Ta = (2MaMb + (IMa/R^2))g / (Ma + Mb + (I/R^2))、Tb = (2MaMb + (IMb/R^2)) g / ( Ma + Mb + (I/R^2))
(3)動き始めてからt秒後の滑車の加速度ωをもとめよ
ω=(Mb-Ma)gt / ((Ma + Mb + (1/R^2))*R)
よろしくお願いします

おもりの運動方程式
MaAa=Mag - Ta
MbAb=Tb-Mbg

回転運動の運動方程式
F*R = I (d^2 θ/dt^2)、　加速度a = Rαより（α=dω/dt）
(Ta-Tb)*R = I*((Aa-Ab)/R)
と考えましたが、此処から先が分かりません

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

よく見ると、いろいろおかしいですね。

＞(Ta-Tb)*R = I*((Aa-Ab)/R)

これは、AとB、それぞれに対して

＞F*R = I (d^2 θ/dt^2)

を使って引き算をしているんでしょうか？

回転の運動方程式の右辺(この質問では左辺)はトルクの総和ですから、もともと

I (d^2 θ/dt^2) = Ta R - Tb R = (Ta-Tb) R

です。ここでの回転方向の符号はAが下がる方向(Taが正のトルクを与える方向)。

＞MaAa=Mag - Ta
＞MbAb=Tb-Mbg

この運動方程式からすると、Aについては下がる方向が正、Bについてはあがる方向が正なので

Aa = Ab = A = R (d^2 θ/dt^2)

でこれを代入して、

I A/R = (Ta-Tb) R

重りの運動方程式を辺辺足して

(Ma + Mb ) A = (Ma - Mb) g - (Ta - Tb) = (Ma - Mb) g - IA/R^2

これを整理して

A = Aa = Ab = (Ma - Mb) g / [ Ma + Mb + I/R^2 ]

ただし、解答

＞答え・・・Aa = (Mb-Ma)g / (Ma + Mb + (I/R^2))、Ab= (Ma-Mb)g / (Ma + Mb +(I/R^2))

からすると、Aa と Ab が逆符号でMa > MbのときAbが正になるので、これはA,B共に上向きが正。
したがって解答にあわせるにはAの運動方程式は

＞MaAa=Mag - Ta

ではなくて

MaAa=Ta - Mag

これで同様に解けば

A = -Aa = Ab = (Ma - Mb) g / [ Ma + Mb + I/R^2 ]

になります。

お礼

回答ありがとうございます！
もう少し問題文を読むべきでした。

回答No.1

hitokotonusi

>MaAa=Mag - Ta
>MbAb=Tb-Mbg

これを辺辺足し算すればTb- Taが出てくるので代入して整理。
糸が伸び縮みしないのでAaとAbは符号を除いて等しいことも利用。