スペクトル

質問

本に記載されていた命題なのですが、疑問に思ったところがあります。

複素平面（Ｄ={λ∈Ｃ:x-λ∈正則元全体}）で定義されているＢ環Ａの元を価とする関数
リゾルベント　x(λ)=(x-λ)^(-1)

＜命題＞
x(λ)はＤで正則
(ここでの正則は微分可能という意味)

＜証明＞
|δ|を十分小さくとると微分の定義から
λ、λ＋δ∈Ｄ
｛x(λ＋δ)－x(λ)｝/δ＝(x-λ-δ)^(-1)(x-λ)^(-1)
→(x-λ)^(-2)

この問題で、λ＋δ∈Ｄとなるのはなぜなのでしょうか。
証明しようと思ったのですが、感覚的にはわかるのですが、ちゃんと証明しようと思うとどうやってよいのかわかりません。
よろしくお願い致します。

回答No.1

ojisan7

レゾルベント集合の任意の点について、その点の近傍を十分小さくとると、その近傍はレゾルベント集合に含まれます。これはレゾルベント集合が開集合であることを意味しますが、その証明は、どんな教科書にも書かれていますので確認して下さい。
尚、レゾンベルトの正則性については、レゾンベルト方程式から明らかです。

お礼

ありがとうございます、確認してみます！！