微分

質問

x^3-4x＞0を解け。
y=x^3-4xと置きこれを微分。
y'=3x^2-4となる。
y'=0としx=-√3分の2,√3分の2となりましたが答えはx=2,-2です。
何が違っているのかわかりません。
やり方が違っていますか？

回答No.5

info22 · ベストアンサー

この問題のやり方は
y=x^3-4x=(x+2)*x*(x-2)
のグラフの概形を描いて
y＞0となるxの領域を求める
だけで良いのです。
y=(x+2)*x*(x-2)とx軸の交点は
x=-2,0,2
で、グラフは
x<-2では y<0
x=-2でy=0
-2<x<0でy>0
x=0でy=0
0<x<2でy<0
x=2でy=0
2<xでy>0
と変化しますので
y>になるxの範囲を寄せ集めた
「-2<x<0,2<x」がy=(x+2)*x*(x-2)=x^3-4x>0
の答になります。

今回の質問の問題では、微分をとる必要はないですね。
（テストでは微分を持ち出せば×になります。）

しかし、複雑な関数式の不等式の場合、グラフの概形が分からない場合に
グラフの概形を描く場合にはy'の計算をして増減表を描くことが必要になる場合はあります。

回答No.4

sanori

再びお邪魔します。

先ほど
「それは、ｙが極値を取るときのｘの値を求めただけですね。
　不等式とはあまり関係がありません。」
と書きましたが、
関係がある場合もあります。

それは、
もしも、微分したものが絶対にゼロにならない場合（判別式が負である場合）、
区間分けが少なくなる、具体的には、区間が２つだけになることがわかるということです。

では！

回答No.3

sanori

こんばんは。

＞＞＞
y=x^3-4xと置きこれを微分。
y'=3x^2-4となる。
y'=0としx=-√3分の2,√3分の2となりましたが

はい。
それは、ｙが極値を取るときのｘの値を求めただけですね。
不等式とはあまり関係がありません。

たぶん、いちばんよいやり方は、
ｙ　＝　ｘ^3 － ４ｘ　＝　ｘ（ｘ＋２）（ｘ－２）
としておいて、
ｘ＜－２、ｘ＝－２、－２＜ｘ、ｘ＝０、０＜ｘ＜２、ｘ＝２、２＜ｘ
の７つの区間に分けて、
ｘ、ｘ＋２、ｘ－２　の３つの符号を調べ、その３つをかけたものが０より大きくなるかを調べることです。

最初から答えが見えている人だと、
ｘ≦－２、－２＜ｘ＜０、０≦ｘ≦２、２＜ｘ
の４区間でやります。

以上、ご参考になりましたら。

回答No.2

Kules

>y'=0としx=-√3分の2,√3分の2となりましたが
これで出た点は極大値、極小値(要は山とか谷のところ)になるｘの値です。
山とか谷でｘ軸とは交わりませんよね？(いや、もちろんどちらかが接するようなことはありますが)
今回は不等式なので微分をしてグラフの概形を描くことでｘの範囲は求めやすくなりますが、それにはｘ軸との交点も知る必要があります。

回答No.1

jamf0421

微分の問題でないです。
x(x^2-4)>0
の条件を出すのです。
x>0かつx^2-4>0
または
x<0かつx^2-4<0
の答えをだせばよいのです。