微分の解き方が分かりません。

質問

ｙ＝ｘ^3＋(3/2)x^2－6x　をｘについて微分するとどうなりますか？
ていうより、答えは3ｘ^2＋3ｘ－6になるということは分かっていますが、解き方が今ひとつ分からないんです。
まだ学校では習ってないんですが・・・　どなたか、よろしくお願いします！

回答No.11

newtype

f(x)は０ではない。という条件を忘れていました。
ryumuさんの意見のおかげでまだ証明が十分でないことがわかりました。

私の証明は
積の方はf(x)≠０とg(x)≠０の場合、
商の方もf(x)≠０とg(x)≠０の場合しか証明していません。

しかし、積の方はf(x)＝０とg(x)＝０の場合、
商の方はf(x)＝０とg(x)≠０の場合もなりたちます。
これは代入してやればすぐわかります。
以上そろそろ終わりましょう。

回答No.10

ryumu

ほうほう・・・newtypeさん、対数フェチとみた！（笑）
なるほど、対数ね。
でも、これは注意が必要。
対数を取るには、ｙ=ｆ（ｘ）=ｇ（ｘ）=０とならないという条件も必要なので、正式な導き方とはなりません。
また、

　（log｜ｆ（ｘ）｜）’＝ｆ’（ｘ）/ｆ（ｘ）　；ｆ（ｘ）は０でない

を先に証明する必要が出てきます。
それに伴って、合成関数のｆ（ｇ（ｘ））の微分も知っていなければいけないし・・

やはり本質を理解の理解のために、ある程度までは定義から公式も導く方が私はお勧めですがね。特に習いたての時は。

本当は定義から、ｅ＝lim（１＋（１／ｎ））＾ｎ　；（ｎ-＞∞）
も一度は自分で導くべきなんです。
安心して、（ｅ＾ｘ）’＝ｅ＾ｘ　が使えますから。

回答No.9

newtype

積や商の微分公式も対数を使うと簡単に求まります。
y=f(x)g(x)とする。
両辺に対数をとり、
log|y|=log|f(x)|+log|g(x)|となる。
両辺をｘで微分して、
y'/y=f’(x)/g(x)+g'(x)/g(x)
⇒y'=f’(x)g(x)+f(x)g'(x)

y=f(x)/g(x)とする。
両辺に対数をとり、
log|y|=log|f(x)|-log|g(x)|
両辺をｘで微分して、
y'/y=f’(x)/f(x)-g'(x)/g(x)
⇒y'=f’(x)/g(x)+g'(x)f(x)/{g(x)}^2
⇔y'={f’(x)g(x)+g'(x)f(x)}/{g(x)}^2
以上

回答No.8

ryumu

ふふふ・・・みなさん甘いですな＾＾；
ちゃんと、本文中に”（ｈ-＞0とする）”と断っておりますぞ＾＾；
って揚げ足を取るだけでは進歩しないので、ついでに積と商の微分公式も簡単に導きましょう。

以下、ｈ-＞0とする（強調）！！＾＾；

　ｙ=ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ）

を微分しましょう。定義より、

　ｙ’=［ｆ（ｘ+ｈ）・ｇ（ｘ+ｈ）-ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ）］/ｈ

ここで、強引に（ここミソ）　ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ+ｈ）を式中に作ります。
（別にｆ（ｘ+ｈ）・ｇ（ｘ）でもいい）
しかし、いきなり出してもしょうがないので、

ｙ’=｛［ｆ（ｘ+ｈ）・ｇ（ｘ+ｈ）-ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ）］-［ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ+ｈ）-ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ+ｈ）］/ｈ　　・・・（＊）

とします。つまり、［ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ+ｈ）-ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ+ｈ）］=０を足すんです。
すると、（＊）式は、

　ｙ’=｛［ｆ（ｘ+ｈ）・ｇ（ｘ+ｈ）-ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ+ｈ）］+［ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ+ｈ）-ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ）］/ｈ

　　=［ｆ（ｘ+ｈ）・ｇ（ｘ+ｈ）-ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ+ｈ）］/ｈ+［ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ+ｈ）-ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ）］/ｈ

　=ｆ’（ｘ）・ｇ（ｘ）+ｆ（ｘ）・ｇ’（Ｘ）

となります。これが積の微分公式です。

つまり、ｙ=ｘCOSｘの微分は、

　ｙ’＝（ｘCOSｘ）＝（ｘ）’COSｘ+ｘ（COSｘ）’＝COSｘ-ｘsinｘ

となります。

一方、ｙ=ｆ（ｘ）/ｇ（ｘ）という商は分母のｇ（ｘ）を払って、

　ｙ・ｇ＝ｆ

となります（（ｘ）は省略！！）。

これを両辺微分すると、積の微分公式より、

　ｙ’・ｇ　+　ｙ・ｇ’=ｆ’

移行して、

　ｙ’・ｇ＝ｆ’-ｙ・ｇ’

ここで、ｙ=ｆ/ｇであることを考慮すると、

　ｙ’・ｇ＝ｆ’-（ｆ/ｇ）・ｇ’　

よって、

　ｙ’=［ｆ’・ｇ-ｆ・ｇ’］/（ｇ＾２）

という商の微分公式が得られます。
公式も自分で導けると、何かと楽ですよ。
他にもネタはありますが・・・余り役に立たないのでいいでしょう＾＾；
ほな頑張ってください。

回答No.7

newtype

すいません。矢印みたいなのありますね。
たとえば「きごう」と打って変換するといろんな記号が出てきます。
また「やじるし」と打って変換すると、いろいろな矢印が出てきます。

いんてぐらる→∫
しぐま→Σ
など。

回答No.6

newtype

うふふ。ryumuさん、詰めがあまいですな。lim(h→0)が抜けとりますぞ。
ちなみに私も人のこといえせん。

「logf(x)=αlogx 両辺をｘで微分して（対数微分法）⇒f’(x)/f(x)=α/x」
のところなんですがf(x)に絶対値記号を付け忘れています。

正しくは
「log｜f(x)｜=αlogx 両辺をｘで微分して（対数微分法）⇒f’(x)/f(x)=α/x」
としなければいけませんね。

実はこの訂正もお礼が書かれたあとに書こうと思ったのですが…。

お礼

ご親切にどうもありがとうございます。
ふふふ。そうですね、実は僕も気づきましたよ。(^_^)　でも、本当に分かりやすい説明で助かりました。やっと先へ進めます。

回答No.5

ryumu

もう皆さんが答えられているので、NO1のnewtypeさんの示した最後の式を、簡単に・・・

そもそも微分の定義は、関数ｙ=ｆ（ｘ）があったとき、あるｘとそれより微少量ｈ増加したときの、ｙの変化の比率ですよね。
すなわち、

　ｙ’=［ｆ（ｘ+ｈ）-ｆ（ｘ）］/ｈ　；（ｈ-＞０）　・・・（＊）

ということです。ｆ（ｘ）＝ｘ＾ｎの時は、newtypeさんが示されています。
つまり、

　　（ｘ＾ｎ）’=ｎ・ｘ＾（ｎ-1）

となります。

では、

　ｙ=ｆ（ｘ）+ｇ（ｘ）

という和の時は（例えばｙ＝ｘ＾２-３ｘなど）、定義（＊）により（ｈ-＞0とする）

　ｙ’=｛［ｆ（ｘ+ｈ）+ｇ（ｘ+ｈ）］-［ｆ（ｘ）+ｇ（ｘ）］｝/ｈ
　　　=｛［ｆ（ｘ+ｈ）-ｆ（ｘ）］+［ｇ（ｘ+ｈ）-ｇ（ｘ）］｝/ｈ　
　　　=［ｆ（ｘ+ｈ）-ｆ（ｘ）］/ｈ　+［ｇ（ｘ+ｈ）-ｇ（ｘ）］/ｈ　
　　　=ｆ’（ｘ）　+　ｇ’（ｘ）

となります。つまり全体を微分することは、それぞれを微分して足しても同じだっちゅうことですね。
例で言うと
（ｘ＾２-３ｘ）’=（ｘ＾２）’＋（-３ｘ）’
　　　　　　　　=（ｘ＾２）’＋（-３）（ｘ）’
　　　　　　　　=２ｘ-3
となります。

私も高校時代に独学で先取りして微積分を勉強し、高校３年生の頃には、大学教養課程程度の問題もかなり解けるようになってました。物理を勉強する上でも、かなり得をした覚えがあります（単振動の一般式を導くなど）。
頑張ってください＾＾；

お礼

ご回答有り難うございます。
ほほう。最後の式はつまりそういうことになりますねえ(^^!　理解がまた一つ深まりましたよ。
うわあ。ryumuさんもすごいですねえ。僕は、つい最近微積分の勉強を始めたばっかりなのですが、ホント奥が深いんですねえ。分からないことずくめで・・・
物理かあ・・・。なんか難しそうですねえ。まあ、ryumuさんもいろいろと頑張ってください！有り難うございました。

回答No.4

kurimaki

微分の計算だけの話でしたら、教えられます。指数の数を係数にかけて指数から1ひいた値をまた指数とします。つまり、x^nの微分は、nx^(n-1)ということです。例えば、x^3の微分は3x^(3-1)=3x^2 となります。従って、
y'=3x^(3-1)+(3/2)*2x^(2-1)-6x(1-1)
=3x^2+3x-6
となります。（x^0は1です）
微分の原理については学校で習って下さい。

お礼

なるほど。計算ならば、簡単に解けるんですね。コツが分かりました。
ご回答有り難うございました。

回答No.3

newtype

ひょっとして、グラフを画く方法をお聞きしているのでしょうか。
それとも、線形性のことを聞いているのでしょうか。
補足求む。

(a^n)-(b^n)=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+…+a^(n-k){b^(k-1)}+…+ab^(n-2)+b^(n-1)]
を見て、何なんだこの式は？とお思いになられたでしょう。実は「お礼」が書かれた後に証明しようと思ったのですが、まだ見ておられないようなのでいまやります

1+x+x^2+x^3+…+x^(n-1)=(1-x^n)/(1-x) (x≠1) という式は等比数列の公式から知っていると思います。x=b/aを代入して

1+(b/a)+(b/a)^2+(b/a)^3+…+(b/a)^(n-1)={1-(b/a)^n}/{1-(b/a)}

両辺にa^nをかけて
a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+a^(n-3)b^3+…+ab^(n-1)=(a^n-b^n)/{1-(b/a)}

両辺に1-(b/a)をかけて
{1-(b/a)}{a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+a^(n-3)b^3+…+ab^(n-1)}=(a^n-b^n)
⇔(a-b){a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+…+b^(n-1)}=(a^n-b^n)

以上

回答No.2

newtype

一部修正１４、１５、１６行目
どちらも最後の項が(x+h)^(n-1)となっていますがx^(n-1)としておいてください。
これは８，９行目の式に代入して考えればすぐわかります。