解と係数の関係 積分区間に文字を含む定積分

質問

質問が２つあります。一度に２つもすいません。片方だけでも構いませんのでお願いします。

α＋β＝２ａ、αβ＝ａ－１のとき
１/6（β－α）³を計算すると答えは3/4（ａ²－ａ＋１）の2/3乗なのですがこの途中経過がわかりませんので解説をお願いしたいです。

関数Ｆ(x)＝∫x～x＋2｜t－2x＋1｜dtの最小値を求める問題です、見にくくてすいません。｜←は絶対値です。
2x－1＜xのとき｜t－(2x－1)｜＝t－(2x＋1）から2x－1＜x≦t≦x＋2よってt－(2x－1）＞０として
Ｆ(x)＝∫x～x＋2｛t－(2x－1）｝dtと計算、
またx≦2x－1＜x＋2の場合、x＋2≦2x－1の場合と分けて計算をするのですが、なぜこの場合分けになるのか分かりません。この部分の解説をお願いしたいです。

私の身近に質問できる人がいませんのでここで質問させていただきました。大変面倒な作業ですので片方だけでも構いませんが、以上２点について解説をお願いします。

回答No.3

yhposolihp · ベストアンサー

ANo.2 です。

>>S=(1/6){(β-α)^3}
>>S^2=(1/36)[ {(β+α)^2}-4αβ}^3 ]
>>の部分がまだわかりません。　　

少し、手抜きしてしまいました。スミマセン。

S=(1/6){(β-α)^3}

　　　　両辺を２乗して、
S^2=(1/36){ (β-α)^6 }

　　　　指数法則で、
S^2=(1/36)[　{ (β-α)^2 }　]^3

　　　　(β-α)^2 展開して、
S^2=(1/36)[ (β^2)-2αβ+(α^2) ]^3

　　　対称式の変形が使えるので、
　　　4αβを足して、4αβを引くと言う技巧です。
S^2=(1/36)[ (β^2)-2αβ+(α^2)+4αβ-4αβ]^3

S^2=(1/36)[(β^2)+2αβ+(α^2) 　　　　-4αβ]^3

　　　　よく見ると、
　　　　(β^2)+2αβ+(α^2)=(β+α)^2
　　　　が見えて来ます。
S^2=(1/36)[　{ (β+α)^2 } -4αβ]^3　となるので、

　　　　α+β=2a、αβ=a-1　を代入しています。

お礼

再び回答して頂きありがとうございます。
大変丁寧な回答で勉強不足な私でもとてもよく理解できました。
本当にありがとうございました。

回答No.2

yhposolihp

式変形だけで良いし、
判別式も考慮する必要もないのですが、
何か落ち着かないので、復元して書きます。

面積　S=-∫[α, β]{(x^2)-2ax+(a-1)}dx
　　　　　　　　　　　　　D/4=(a^2)-a+1＞０
　　　　　　　α<β、α+β=2a、αβ=a-1

S=(1/6){(β-α)^3}＞０

S^2=(1/36)[ {(β+α)^2}-4αβ}^3 ]
　　=(1/36)[ {4(a^2)-4(a-1)}^3 ]
　　=(64/36)[ {(a^2)-(a-1)}^3 ]
　　=(16/9)[ { (a^2)-a+1)}^3 } ]

S=(4/3)[ { (a^2)-a+1)}^(3/2) } ]
---------------------

>>F(x)=∫[x,x+2]｜t-(2x-1)｜dt。
>>最小値を求めよ。

　　x, (x+2), (2x-1) の大小を考えます。
　　y=x, y=x+2, y=2x-1 のグラフから判断すると、
　　2x-1=x, 2x-1=x+2 を解けば良い事がわかるので、
　　x=1,x=3が場合分けの境界となります。

（１）　x＜1 の時は、　　　　　　　　(2x-1)＜x＜(x+2)
（２）　1≦x≦3　 の時は、　　x≦(2x-1)≦(x+2)
（３）　3＜x　の時は、x＜(x+2)＜(2x-1)

　　あとは絶対値の外し方に注意して、
　　丁寧に計算します。

（１）
　＼　　　　　　　　　　　　　／
　　　　＼　　　　　　　／
　　　　　　　＼　／
――――――――――――
　　　　　　　　↑　　↑　　　↑
　　　　　　　(2x-1)　x　　(x+2)

F(x)=∫[x,x+2]{ t-(2x-1)　}dt
=[(1/2)(t^2)-(2x-1)t][x,x+2]
={(1/2)((x+2)^2)-(2x-1)(x+2)}-{(1/2)(x^2)-(2x-1)x}
=2x+2-4x+2
=-2x+4

（２）
　＼　　　　　　　　　　　　　／
　　　　＼　　　　　　　／
　　　　　　　＼　／
――――――――――――
　　　　↑　　　↑　　　　↑
　　　　x　　　(2x-1)　(x+2)

F(x)=-∫[x,(2x-1)]{t-(2x-1)}dt+∫[(2x-1),(x+2)]{t-(2x-1)}dt
=-[(1/2)(t^2)-(2x-1)t][x,(2x-1)]+[(1/2)(t^2)-(2x-1)t][(2x-1),(x+2)]
=-(1/2)((2x-1)^2)+(2x-1)(2x-1)+(1/2)(x^2)-(2x-1)x
　　+(1/2)((x+2)^2)-(2x-1)(x+2)-(1/2)((2x-1)^2)+(2x-1)(2x-1)
=-((2x-1)^2)+2(2x-1)(2x-1)+(1/2)(x^2)+(1/2)((x+2)^2)-(2x-1)(2x+2)
=(2x-1){-2x+1+4x-2-2x-2}+(1/2)(x^2)+(1/2)((x+2)^2)
=-3(2x-1)+(x^2)+2x+2
=-6x+3+(x^2)+2x+2
=(x^2)-4x+5

（３）
　＼　　　　　　　　　　　　　／
　　　　＼　　　　　　　／
　　　　　　　＼　／
――――――――――――
↑　　　↑　　↑　　　　
x　　(x+2)　(2x-1)　

F(x)=-∫[x,(x+2)]{t-(2x-1)}dt
　　　=2x-4
--------------------

まとめると、
（１）　x＜1 で、　　F(x)=-2x+4　　　　　　　　
（２）　1≦x≦3 で、F(x)=(x^2)-4x+5
　　　　　　　　　　　　　　　={(x-2)^2}+1
（３）　3＜x　で、　　F(x)=2x-4　　となるので、

（１）、（２）、（３）のグラフを描くと、

　＼　　　　　　　　　　　　　　　　　／
　　　＼　　　　　　　　　　　　　／
　　　　　＼　　　　　　　　　／
　　　　　　　・　　　　　　　・　　　←２
　　　　　　　　　　　・　　　　　　　←１

――――――――――――
　　　　　　　↑　　↑　　↑　　　　
　　　　　　　１　　　２　　　３　
な　感じになるので、
x=２　のときに最小値　１　となります。

お礼

回答ありがとうございます。
２つ目の質問については理解できましたのですが、
１つ目の質問で回答してくださった
S=(1/6){(β-α)^3}
S^2=(1/36)[ {(β+α)^2}-4αβ}^3 ]
の部分がまだわかりません。　　

なぜこのように変形できるのでしょうか。{(β-α)^3}から[ {(β+α)^2}-4αβ}^3 ]と変形できるのが特にわかりません。
私の勉強不足ですいませんが、もしよろしければまた解説をお願いできないでしょうか。お願いします。

回答No.1

debut

(β－α)^2=β^2-2αβ+α^2=(α+β)^2-4αβ=4a^2-4a+4=4(a^2-a+1)
∴｜β-α｜=2(a^2-a+1)^(1/2)
∴(β－α)^3=±8(a^2-a+1)^(3/2)です。（マイナスもあるような・・）

ｔ－２ｘ＋１の符号の変わり目は　ｔ＝２ｘ－１
ｔ軸をとって、これを積分範囲と共に考えながら小さい方から
見ていくとき
（１）２ｘ－１、ｘ、ｘ＋２
（２）ｘ、２ｘ－１、ｘ＋２
（３）ｘ、ｘ＋２、２ｘ－１
と並んでいる３通りの場合が考えられます。
ｔ－２ｘ＋１＝f(t)とすれば、それぞれでのf(t)符号が
（１）－←(2x-1)→＋←(x)→＋→(x+2)→＋
（２）－←(x)→－←(2x-1)→＋→(x+2)→＋
（３）－←(x)→－←(x+2)→－→(2x-1)→＋
となるので、
（１）では∫f(t)dt[x→x+2]
（２）では－∫f(t)dt[x→2x-1]+∫f(t)dt[2x-1→x+2]
（３）では－∫f(t)dt[x→x+2]
と計算することになります。

お礼

回答ありがとうございます。
(1)でマイナスもあるような‥とのことですが、α＜βとの条件が問題に書いてありましたので、(β－α)^3はプラスの回答になる‥と思います。その旨記載するべきでした、すいません。
おかげで理解できました。ありがとうございました。