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導関数
教科書では、f(x) の導関数は f'(x) = lim{f(x+h) - f(x)} / h のように書いてあり、 添付画像の A をどんどん P に近づけていくというような説明がありました。 そこで思ったのですが、A が左から P に近づいていくとして f'(x) = lim{f(x) - f(x-h)} / h としても同じでしょうか？ たとえば f(x) = x^2 のときは lim{f(x+h)-f(x)}/h = lim{(x+h)^2 - x^2}/h = lim{2x + h} = 2x lim{f(x)-f(x-h)}/h = lim{x^2 - (x-h)^2}/h = lim{2x - h} = 2x で一緒になると考えたのですが、 どんな関数でも右から近づいた場合と 左から近づいた場合は一緒になりますか？
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その二つが一緒になる関数だけが「微分可能」です。 f(x) = { x ≧ 1 のとき } x^2, f(x) = { x ＜ 1 のとき } 2 -x. を考えてみて下さい。x = 1 で、 右から近づいたとき、左から近づいたとき、それぞれに ニュートン商は収束しますが、微分可能ではありません。
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- piro19820122
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可能です。というか図では右から近づくように書かれていますが、hは正とも負とも決められていませんから、h<0 でも h>0 でも同じことです。 ＞どんな関数でも右から近づいた場合と ＞左から近づいた場合は一緒になりますか？ 必ずしも同じとは言えません。なお右からと左からで違うものは微分不可能です。
お礼
ありがとうございます。 > hは正とも負とも決められていませんから、h<0 でも h>0 でも同じことです。 目から鱗でした。先入観で h はプラスだと思い込んでいました。
補足
皆さんのおかげで聞きたかったこと以上に 微分可能の感覚もなんとなく掴むことができました。 絵で言うと尖っていて接線が引けないときが 微分不可能という状態なのかなと思いました。 lim{f(x+h) - f(x)} / h が極限値を持つといわれて 極限値を持たないときの例が浮かばなかったのですが、 今勉強してるところでは"微分可能"な簡単な関数しか出てきてなかったことがわかりました。 数ヶ月前に独学で勉強し始めてから ずっと一人で悩んでいることが多かったのですが、 最近このサイトを知り、皆さんに助けてもらうことで少しペースが上がったような気がします。 どうもありがとうございました。
- koko_u_u
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同じになることが、すなわち「微分可能」ということです。
お礼
ありがとうございます。 教科書には lim{f(x+h) - f(x)} / h （lim の下は h→0） の極限値が存在するときに「微分可能」だと書いてあったのですが、 これはプラスのほうからとマイナスのほうからと どちらの場合も h→0 に込められていたのですね。 大変参考になりました。
お礼
ありがとうございます。 h→0 が両側から近づくことを想定しているということは 一人でやっていても気づかなかったと思うので、大変参考になりました。 例として挙げていただいた f(x) を考えてみました。 hが＋側から近づくときは f'(1) = 2 hが－側から近づくときは f'(1) = 1 になるので f'(1) が決まらないのですね。 まだ x の○乗、三角関数、指数関数、対数関数のような 基本の関数しかやってなかったので、 > f(x) = { x ≧ 1 のとき } x^2, > f(x) = { x ＜ 1 のとき } 2 -x. こんな風に場所によって違う関数で f(x) を決めるようなこともする、というのが新鮮でした。 > ニュートン商 自分で勉強するために簡単な教科書を買ったので、 持っている教科書の索引にはない単語でした。 調べて勉強してみます。