確率論(不等式)

質問

全てのε>0で、
P(|X+Y|≧ε)≦P(|X|≧ε/2)+P(|Y|≧ε/2)

が不等式として成り立つらしいのですが、具体的な証明が分かりません。

これは「数理統計学の基礎」(野田一雄・宮岡悦良　著)(共立出版株式会社)の本で紹介されているんですが、証明方法で

|X|+|Y|≧|X+Y|≧ε⇒|X|≧ε/2 または |Y|≧ε/2

となっています。どういう解釈でこのような展開になるのか、誰かご教授お願いします。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> |X|+|Y|≧|X+Y|≧ε⇒|X|≧ε/2 または |Y|≧ε/2
>
> となっています。どういう解釈でこのような展開になるのか、誰かご教授お願いします。

|X| + |Y| ≧ |X + Y|は大丈夫ですか？
|X + Y| ≧ εと|X| + |Y| ≧ |X + Y|を組み合わせて
|X| + |Y| ≧ |X + Y| ≧ ε
ここから

|X| + |Y| ≧ ε

よって、|X|と|Y|のうち、少なくとも片方はε/2以上である必要があります
（|X|と|Y|両方がε/2より小さかったらどうなるかを考えて下さい。
そうしたら、|X| + |Y| ≧ εは絶対に成り立ちません。
なので少なくとも片方はε/2以上である必要があります）。

お礼

なるほど…確かに言われてみると当たり前のことですね。
変な方向で深く考えてました…ありがとうございます。