不等式について

質問

（1+|x+y|)^m ≦ (1+|x|)^m ×　(1+|y|)^m

(x,yはn次元実数、mはゼロ以上の整数）
を証明しようとしているのですが、どうもうまくいきません。方針を教えていただきたいです。後、この不等式、なにか名前がついてるのでしょうか？

回答No.1

noname#47975 · ベストアンサー

そうですね．．。証明の方針としては
まず両辺を対数にすると、

log(1+|x+y|)^m ≦ log(1+|x|)^m(1+log|y|)
log(1+|x+y|) ≦log(1+|x|)(1+|y|)

となります。底は一応自然対数として定めておくと良いですね．．。
そこで、(1+|x+y|)≧1,(1+|x|)(1+|y|)≧1より、
結局は(1+|x+y|)≧(1+|x|)(1+|y|)である事を証明すれば
良いと思います。
後、|x+y|≧|x|+|y|(この関係については、両辺を２乗すれば証明できます。） を利用して上記不等式が成立する事を証明すればよいでしょう。
また、等号成立条件も忘れないように、注意して下さいね．．。

回答No.2

noname#101087

>（1+|x+y|)^m ≦ (1+|x|)^m ×(1+|y|)^m
>(x,yはn次元実数、mはゼロ以上の整数）

「x,yはn次元実数」というから、x,y は n次列ベクトルのたぐいですね。

たとえば
　http://ysserve.int-univ.com/Lecture/linear/node7.html
のノルム不等式をご覧ください。
　∥x+y∥≦∥x∥+∥y∥
が成立するので、
　1+∥x+y∥≦1+∥x∥+∥y∥≦(1+∥x∥)*(1+∥y∥)

この両辺を m乗したのが問題の式だと思われます。