同時確率密度関数（Joint Probability Density Function）

質問

以下のような問題で　同時確率密度関数（Joint Probability Density Functionを示したいのですが答えまでたどり着けません　
どのようにしたらよいのでしょうか？
f(x,y)=1/2π{1+xy*exp[-1/2(x^2+y^2-2)]}exp[-1/2(x^2+y^2]
－無限<x<無限, －無限<y<無限

回答No.5

info22 · ベストアンサー

> =(1/2π){1+r^2sinθcosθ*exp[-{(rsinθ)^2+(rcosθ)^2-2}]}exp[-{(rsinθ)^2+(cosθ)^2}/2]
>=(1/2π){1+(r^2sin2θ/2)*exp[(r^2-2)/2]}exp[-r^2/2] ×
=(1/2π){1+(1/2)*(r^2)*sin(2θ)*exp[-(r^2-2)/2]}exp[-r^2/2]

>=(1/2π){exp[-(r^2)/2]+[(r^2)sin(2θ)/2]*exp[(r^2-2)/2-r^2/2]}　×
=(1/2π){exp[-(r^2)/2]+[(r^2)sin(2θ)/2]*exp[-(r^2-2)/2-r^2/2]}

>=(1/2π){exp[-r^2/2]+(r^2sin2θ/2)*exp[-1]} ×
=(1/2π){exp[-r^2/2]+[(r^2)sin(2θ)/2]*exp[-(r^2)+1]}

>=(1/2π)*exp[-r^2/2]+(1/2π)*[(r^2)sin(2θ)/2]*exp[-1]} ×
=(1/2π)*exp[-r^2/2]+(1/2π)*[e*(r^2)sin(2θ)/2]*exp(-r^2)

>ここまでは問題ないでしょうか？
間違っているので上記のように直す。

>g(r)=∫f(r,θ)dθ
>h(θ)=∫f(r,θ)dr
>でよろしいのでしょうか？
だめ。

f(x,y)⇒(1/2π)exp[-r^2/2]+(1/2π)*[sin(2θ)/2]*exp(-r^2)
I=∬f(x,y)dxdy=∬g(r)h(θ)rdrdθ
=(1/2π)∫[0->2π]dθ∫[0->∞] r*exp[-(r^2)/2]dr
+(e/2π)∫[0->2π]{sin(2θ)/2}dθ∫[0->∞] (r^2)*exp(-r^2)dr
=∫[0->∞] r*exp[-(r^2)/2]dr
=-exp[-(r^2)/2]|[0->∞]
=1

補足

ありがとうございます最終的には全て皆さんに頼る形になって申し訳ありません。　文系には統計は難しすぎますね・・・。

回答No.4

noname#227064

ANo.2に対する補足の
> =(1/2π){1+(r^2sin2θ/2)*exp[(r^2-2)/2]}exp[-r^2/2]
は、
=(1/2π){1+(r^2sin2θ/2)*exp[(2-r^2)/2]}exp[-r^2/2]
が正しい。

g(r), h(θ)については、
> g(r)=∫f(r,θ)dθ
> h(θ)=∫f(r,θ)dr
ではなく、f(rcosθ,rsinθ) = g(r)h(θ)ということです。

あと、rの積分範囲は0～1ではなく0～∞になります。

お礼

全然理解できてない私に親切に回答してくれてありがとうございます。

補足

=(1/2π){1+(r^2sin2θ/2)*exp[(2-r^2)/2]}exp[-r^2/2]
=(1/2π)*exp[-r^2/2]+(r^2sin2θ/4π)*exp[1-r^2]}

f(rcosθ,rsinθ) = g(r)h(θ)をinfo22さんの
∫[0->＋∞] g(r)rdr∫[0->2π] h(θ)dθ
の形へはどのようにするんですか？
rとθに分けてvaluableを∫の外に出せばいいんですか？

回答No.3

info22

#2です。
補足質問の回答。

>∫∫f(x,y)dxdy=1であることを示せばいいんですよね？
この式の他、確率密度ですから、#1さんが書かれているように
f(x,y)≧0
も必要です。

> dxdy=drdθ
間違い
dxdy=|J|drdθ、|J|はヤコビアンです。
計算すると|J|=r
となります。

>∫[0->1]f(r)ｄｒ∫[0->2π]f(θ）ｄθ
∫[0->1] g(r)rdr∫[0->2π] h(θ)dθ
ここでf(x,y)⇒g(r)h(θ)
です。
この先をやって補足に書いて下さい。

分からなければ計算経過を書いて、分からないところを書いて下さい。

補足

すみません式を書き間違えてました
誤：f(x,y)=1/2π{1+xy*exp[-1/2(x^2+y^2-2)]}exp[-1/2(x^2+y^2)]
正：f(x,y)=(1/2π){1+xy*exp[-(x^2+y^2-2)/2]}exp[-(x^2+y^2)/2]

x=rsinθ=>dx=rcosθｄθ
y=rcosθ=>dy=-rsinθｄθ
と置き
f(x,y)=(1/2π){1+xy*exp[-(x^2+y^2-2)/2]}exp[-(x^2+y^2)/2]
=(1/2π){1+r^2sinθcosθ*exp[-{(rsinθ)^2+(rcosθ)^2-2}]}exp[-{(rsinθ)^2+(cosθ)^2}/2]
=(1/2π){1+(r^2sin2θ/2)*exp[(r^2-2)/2]}exp[-r^2/2]
=(1/2π){exp[-r^2/2]+(r^2sin2θ/2)*exp[(r^2-2)/2-r^2/2]}
=(1/2π){exp[-r^2/2]+(r^2sin2θ/2)*exp[-1]}
=(1/2π)*exp[-r^2/2]+(1/2π)*(r^2sin2θ/2)*exp[-1]}
ここまでは問題ないでしょうか？

ここから
g(r)とh(θ)ですよね？

g(r)=∫f(r,θ)dθ
h(θ)=∫f(r,θ)dr
でよろしいのでしょうか？

回答No.2

info22

> 同時確率密度関数（Joint Probability Density Function)を示したいのですが答えまでたどり着けません　
> どのようにしたらよいのでしょうか？

まず、定義の式と何を示したらいいかをわかっていますか？
分かっているならその式を補足に書いて下さい。
また、質問者さんがやった式をやった所まで書いて、どこで行き詰ったかを補足に書いて下さい。

補足

∫∫f(x,y)dxdy=1であることを示せばいいんですよね？

取りあえず
x=rsinθ、y=rcosθとおいてみました。0≦ｒ≦1,0≦θ≦2π
dxdy=drdθ
∫[0->1]f(r)ｄｒ∫[0->2π]f(θ）ｄθ
として進めていいんですかね？

回答No.1

noname#227064

∬f(x,y)dxdy = 1 かつ f(x,y)>=0 であることを示せばいい。
x, yを極座標に変換するといいでしょう。