数IＡについての質問

質問

０≦ｘ≦４、－２≦ｙ≦２のとき
ｚ＝x^－３xy＋y^＋x＋yの最小値と、それを与えるx、yの値の組とを求めよ。
(二乗を^であらわしてます。)

xでくくって
ｚ＝x^(１－３y)x＋y^＋y
　＝(x＋(１－３y)÷２)^＋y^＋y－((１－３y)÷２)^
x＝(１－３y)÷２
条件から
０≦(１－３y)÷２≦４より
１/３≦y≦２

まで出してみたのですがこの先どう展開していけばよいのかよくわからなくなってしまいました。
わかる方いらっしゃいましたら教えて頂けると有難いです。

回答No.3

take_5 · ベストアンサー

うっかりしてたんで、ちょつと訂正。。。。。笑

(1)（3y-1）/2≧4の時　つまりy≧3であるから　－2≦ｙ≦2に反するから不適。
(2)（3y-1）/2≦0の時　つまり、-2≦y≦1/3であるからこの範囲でy＾2＋yの最小値を考える。
(3)0≦（3y-1）/2≦4の時　つまり、1/3≦y≦2であるからこの範囲での-5y＾2＋10y-1の最小値を考える。

つまり、(2)と(3)の最小値の中でより小さい方が求める最小値。

(3)だけ求めればよいことにはならない事に注意。
0≦ｘ≦4という条件にも注意が必要という事だ。。。。。笑

お礼

ありがとうございました。
場合分けが肝心なんですね；
すっきりしました^^

回答No.2

take_5

zがxとyの対称式になっているから、そのように解く方法もあるが、質問者の解答に沿ってやってみよう。

ｚ＝{x-（3y-1）/2}´-（5y＾2-10y＋1）/4.　ここまでは良い。
ここから、0≦ｘ≦4であるから場合分けが必要になる。
これは下に凸のxの2次関数であるから、軸の位置により最小値は異なる。
(1)（3y-1）/2≧4の時、x＝4で最小。この時、ｚ＝y＾2-11y＋20.　
次に、－2≦ｙ≦2の範囲で　y＾2-11y＋20の最小値を考える。
(2)（3y-1）/2≦0の時、x＝0で最小。この時、ｚ＝y＾2＋y.　
次に、－2≦ｙ≦2の範囲で　y＾2＋yの最小値を考える。
(3)0≦（3y-1）/2≦4の時、2x＝3y-1で最小で、この時、4ｚ＝-5y＾2＋10y-1.　次に、－2≦ｙ≦2の範囲で　-5y＾2＋10y-1の最小値を考える。
そして、(1)～(3)までの3つの最小値のうちで最も小さいものが求める最小値となる。

以下、続きの計算は自分でやってね。

回答No.1

hatake333

a÷b をa/b と書くようにします．
>ｚ＝x^(１－３y)x＋y^＋y
　＝(x＋(１－３y)÷２)^＋y^＋y－((１－３y)÷２)^
x＝(１－３y)÷２

となっていますが，最後は
　　x = -(1-3y)/2
ですよね．これが意味するのは，
　　x = -(1-3y)/2 のとき，z は最小値 y^＋y－((１－３y)÷２)^ をとる
ということです．したがって，次は，
y が満たす変域の範囲での y^＋y－((１－３y)÷２)^ の最小値を考えればよいのです．
　　x = -(1-3y)/2 ，0 ≦ x ≦ 4 より，1/3 ≦ y ≦ 3
　　-2 ≦ y ≦ 2 と併せて，1/3 ≦ y ≦ 2
後は，
　y^＋y－((1-3y)/2)^ = -(1/4) * (5y^ - 10y + 1) , 1/3 ≦ y ≦ 2
から，最小値とそのときのyを考えてください．
それが，zの最小値となり，xは求めたyを軸の式に代入すれば得られます．

お礼

ありがとうございました。
最後のところで突っかかってしまったのでもう少し粘ってやってみます。