ベクトルポテンシャル

質問

電流密度の式を導くには、
なぜ、ベクトルポテンシャル（Ａ）を考慮すべきなのか？
自由電子の運動量がｍｖではなく、
ｍｖ＋ｑＡ
となるが、第2項目の意味は何か？

回答No.2

alien55 · ベストアンサー

おそらく、電磁場（真空）内で運動する質量ｍ、電荷ｑの粒子に関する問いだと思います。違っていたらゴメンナサイ。
とにかくこのような系では、電場、磁場をそれぞれE、Bとすると、粒子に働く力は、
　　　　　F ＝ q｛E + (v×B）｝　　　　　　　　　　　　・・・・・・・（１）
なので、これからNewtonの運動方程式を書いていけばこの運動を記述できます。しかし、一般化された運動量Px,Py,Pzは、
ラグラジアンL が解らないと求められないですね、つまり、Px,Py,Pzは、ラグラジアンをそれぞれ、x,y,zの時間微分
x', y', z'(以後このように書きます)で偏微分したものですから。しかし、（１）を見れば解るように、力は速度ｖに
依存していますから、ラグランジアンを「（運動エネルギー）－（ポテンシャル）」から求めるのは非常に難しく、
それよりも逆に、オイラー・ラグランジュの方程式において、上の運動方程式と同値になるようなラグランジアンを見つ
けた方が簡単になります。そのラグランジアンとは、
　　　　　L＝運動エネルギー＋q（x'Ax, y'Ay, z'Az）-qΦ　・・・・・・・（２）
です。これをx', y', z'で偏微分すると、「269nk」さんが書いた運動量、
　　　　　Px＝ｍx'＋qAx, Py＝ｍy'＋qAy, Pz＝ｍz'+ qAz ・・・・・・・（３）
が導かれます。
ところで、質問にずばり答えましょう。
この運動量の式のqAの項は、この系が速度に依存した力の場である特色を表しています。
ベクトルポテンシャルＡを考慮する理由は、単に、EとBからAとΦ（スカラーポテンシャル）に代えることで計算が
ラクになるからです。
（注意・・・上文中のF、E、v、B、Φ、Aはベクトルですから、太字にするか矢印が要ります）

お礼

ずばり答えていただいて、ありがとうございました.

もうすこし、勉強してみます。

回答No.3

siegmund

siegmund です．
前の回答では大変失礼しました．

さて，alien55 さんが回答書かれていますので，補足を少し．

ベクトルポテンシャルと磁束密度の関係は B = rot A ですから
同じＢを与えるＡは無数にあります(rot grad Λ = 0 だから)．
ゲージの選び方の自由度と称しています．
スカラーポテンシャルの方と合わせて表現すれば，
A → A* = A - grad Λ
φ→ φ* = φ + ∂Λ/∂t
としても，ＥとＢは変わりません．

> ベクトルポテンシャルが、計算するうえで楽なので架空のものを想定したのか、
> あるいは、 実際、磁場の周りに回転して存在するのか。

上のように見ると，単に計算が楽のためにあるようにも見えます．
それでも，Ｅのポテンシャルが電位(⇔電位差⇔電圧)ですから，
同じような意味でベクトルポテンシャルの存在意味はあります．
ラグランジアン，ハミルトニアンでは直接のＥやＢではなくて
ポテンシャルが入ってきますから，ハミルトニアンをつかう量子力学では
ベクトルポテンシャルが本質的です．

さらに，アハラノフ－ボーム効果というのがあります．
電子の通り道を途中で２つに分けまた一緒にする．
図が書けないので困るんですが，
ドーナツに２本の棒をつけたようなものを想像してください．
ドーナツのところが道が２つに分かれたというところです．
で，分かれた道の中空部(ドーナツの穴)だけに磁場を通します．
電子は中空部を通らないから，磁場のないところばかり通るわけです．
では，磁場を通しても通さなくても同じか？
そうはならなくて，磁場を通すと干渉効果に違いが出てくることが実験で
確かめられています．
実は，磁場はドーナツの穴のところだけでも，
ベクトルポテンシャルは全体に広がっています．
このアハラノフ－ボーム効果は，
電子がＢそのものではなくてＡの効果を感じていることを直接示す実験です．
超伝導での同様な効果はジョセフソン効果として知られています．
そういう意味でも，ベクトルポテンシャルは実在的意味があります．

お礼

回答ありがとうございました.
もう少し,勉強してみます。

回答No.1

siegmund

質問の言葉遣いからして，
レポート問題(？)をそのまま書いているように思えるのですが.....
違っていたら失礼．

どういう立場の方で，どの程度のレベルの話か，
どこが困っているか，など補足下さい．

補足

大変、遅くなってしまってすみません。
レポート課題では、ありません。
本を読んで勉強していたのですが、
電流密度の式は、ベクトルポテンシャルを考慮すべきだ
という具合にかいてあったのですが、
なぜ、考慮すべきかわからなかったのです。
ベクトルポテンシャルが、計算するうえで楽なので架空のものを想定したのか、
あるいは、
実際、磁場の周りに回転して存在するのか。だとすると、、、という具合でした。

もしよろしければ、
説明等、おねがいします。