にゃんこ先生の自作問題、放物線が相似ということを座標を用いずに証明するには？

質問

にゃんこ先生といいます。

放物線は相似です。
軸が平行であれば相似の中心があり、それは頂点どうし・焦点どうしを結ぶ2直線の交点です。

そのことを座標を使わずに、幾何学的に証明するにはどうすればよいのでしょうか？

回答No.7

kabotya636 · ベストアンサー

私も7年前に次の様な類似問題を自作しておりました。
Ｙ＝ａｘ＾ｎ+・・・・がｎ重根をを持つ時、aの値にかかわらず、その形状はすべて相似である事を証明せよ。（ｎは自然数）
私の自問自答をｙ＝aｘ＾ｎについてアレンジしてみます。
　補助線1・・・・・頂点の接線
　補助線2・・・・・軸
頂点をＯとし、曲線上にＢをとり、Ｂから補助線1,2にそれぞれ垂線を引き、それぞれの交点をＡ，Ｃとし、四角形ＯＡＢＣが正方形になる様にします。
正方形の一辺の長さは、ｘ＝ax^nより、ｘ＝（１/a)^(1/(n-1))
ここで、辺ＯＡを延長し、この線上に任意の点Ｄをとると、ＯＡの長さは、Ｉk(1/a)^(1/{1/(n-1)}Iと表せます。（ｋは実数）
ただし、以下ではマイナスも含めて表せるので、絶対値は省略します。
次にＤを通り軸に平行な補助線を引き、曲線との交点をＥとします。
ＤＥの長さ＝k^n*(1/a)^{1/(n-1)}
ここで、三角形ＯＤＥに目をつけると、
（ＯＤの長さ）/（ＯＥの長さ）＝k^(n-1)となり、
aに関係なく、ｋ、ｎだけで辺の長さの比が決まります。
三角形ＯＥＤは、直角三角形ですから、四角形ＯＡＢＣを基準として、ｋ、んを決めると、aの値に関わらず、点Ｅは確定されます。
つまり、n＝２である放物線は、aの値に関らず、四角形ＯＡＢＣが一致する様に、拡大、縮小して重ねると，すべての放物線はピッタリ重なる事が言えます。
　　　証明終わり
：：nは偶数だけでなく、奇数でも成立します。
：：四角形ＯＡＢＣを基準にする事は一般性を欠きません。

回答No.6

ojisan7

No5です。数学史的な記述で一部誤りがあるので訂正させて下さい。
本題からはずれますが、気になったのでちょっとだけ書かせて下さい。

ユークリッドの原論１３巻には円以外の２次曲線は出てきませんが、彼には他の著作として「円錐曲線論」があったようです。しかし、この本は、原本も訳本もすべて失われ、現在は残っていません。また、その内容も不明です。
円錐曲線の概念については、メナイクモス(B.C.357-325)が最初に考えたようです。３つの円錐曲線をellipse,parabola,hyperbolaと名付けたのは、彼によるものと思われます。彼以後はアルキメデスなど、多くの学者によって円錐曲線が研究されたようです。特に、アポロニウスは有名な「円錐曲線論」を著しましたが、彼は放物線の焦点や準線を知らなかったようです。彼が使った性質は今日の記法では、y=ax^2ですから、座標を使ったのと本質的に違いがありません。
最終的に総合幾何学としての円錐曲線論を完成させたのがパップスのようです。

以上です。失礼しました。

回答No.5

ojisan7

>軸が一致する場合や、相似比が１の場合は除外してください。
>初等幾何で今回は考えています。

これでは、どのあたりの証明をめざしているのかちょっと不明です。
初等幾何というのがどのあたりのことをいうのか。ちなみにユークリッドの原論には円以外の２次曲線は出てきません。そもそも放物線という曲線を描くこと自体が当時は技術的に難しい。アポロニウスに至ってはじめて、円錐曲線として放物線をイメージできたのではないでしょうか。

>相似は、一点からの距離が、すべてk倍されるということです。

相似の位置に移動できたら、相似と言うことですね。だったら、既に回答がありますね。それから、「初等幾何」という表現もあいまいですが、なるべく数式は使用しないようにするという把握でよいのでしょうか。

定点と定直線から等距離にある点の軌跡が放物線です。
点Fから直線Lに垂線を下ろしその足をHとする。線分FHの中点をOとする。点Fと直線Lから等距離にある任意の一点をPとする。すると、
点Pは、点Fを焦点、直線Lを準線とする放物線上にあります。
次に、点Oを中心とし、点F、直線L、点H、点Pを、Oからｋ陪の距離だけ離れた位置に移動し、それぞれ、点F'、直線L'、点H'、点P'とする。
すると明らかに、点P'は、点F'を焦点、直線L'を準線とする放物線上にある。しかも、△PHFと△P'H'F'はOを相似の中心として、相似の位置にあるから、互いに相似である。点Pは焦点F、準線Lの放物線上の任意の点であったから、Pを通る放物線とP'を通る放物線はOを中心として互いに相似の位置にあり、相似比はｋである。ｋは任意であるから、すべての放物線は相似である。（いうまでもなく、相似の位置にない場合には、相似の位置まで移動すればよいだけのこと）

質問者さんが、どの程度の回答を望んでいるのか不明ですので、ちょっと不安です。私の回答では、まだ不充分でしょうか。

回答No.4

kabaokaba

初等幾何なら
準線とか焦点を使っていけばできるでしょうか，多分．
頂点を重ねて，準線を平行にするように移動すれば，
頂点から準線までの距離と
頂点から焦点までの比が同じになったりしますし
一個の放物線Cで
「軸と焦点の交点A」
「焦点F」
「放物線上の点P」
「Pから準線への垂線の足B」
がなす四角形と
もう一個の放物線C'で
OPとC'の交点をP'としたとき
「軸と焦点の交点A'」
「焦点F'」
「放物線上の点P'」
「Pから準線への垂線の足B'」
がなす四角形が多分相似になるのでしょうかね．

原論の最後の方に出てても驚かないですが
出てるかは知りません．

お礼

ヒントありがとうございます。
しかし、初等幾何的に証明できるにはいたっていません。

回答No.3

ojisan7

にゃんこ先生は、「図形が相似である」ことをどのようにお考えでしょうか。

座標を使わずに合同を定義することはできます。
しかし、相似の定義を、座標を使わずにできますか？

お礼

合同の定義はいくつかありますが、幾何学的には素朴に、
平行移動・回転移動・（対称移動）
で変換される図形です。
相似は、
拡大変換
が加わります。
一点から図形の点までの距離が、すべてk倍されるということです。

相似の定義を、座標を使わずにできます。
解析幾何（座標を使った幾何）でなく、初等幾何で今回は考えています。

回答No.2

snowize

すみません、いつも回答のたびに気になっていたのでひとつだけ……。
毎回「にゃんこ先生の自作問題」とあるのですが、それは「俺が作った問題をお前ら解いてみろ！」という意味でしょうか？ それとも言い回しが特殊なだけで、普通に「問題が解けなくて困っている」のでしょうか？
前者ならば規約違反だとも思いますし、わざわざ回答するのも面倒なのですが、後者でしたらできるだけ誠実に対処したいと思いますし、少々困っています。回答の前にこれだけお答えいただけませんか？

補足

にゃんこ先生の自作問題、というのはある意味、本当です。
ふと考えた疑問が多いです。
おもしろい問題で自分では分からないようなもの、を投稿するように心がけています。
お前ら解いてみろ、といったことは一切ありません。

回答No.1

arrysthmia

y = 2 x^2 と
y = 1 + x^2 の
相似中心は、どうする御積りか？

補足

軸が一致する場合や、相似比が１の場合は除外してください。