logの正確な値

質問

例えばlog(2)15　は、近似値は対数表で求められても、正確な値を求められないのはなぜでしょうか。
※　(2)は底数です。
値を正確に求められないlogの条件は何なのか、ぜひ教えて下さい。
log(2)15がきちんとした値をとれないのは、「超越数」や「無理数」だからでしょうか？
きちんとした値をとれるかどうか、何かチェックする公式はあるのでしょうか。
近似値がわかれば問題ないのですが、疑問です。
ヒントでも結構ですので、もし何かおわかりになればぜひ教えて下さい。
どうぞよろしくお願い致します。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

log の近似値は、対数表で求められるわけではありません。
誰かが計算して求めた近似値が、対数表に書いてあるだけです。

近似値を求める計算としては、原理的には、級数展開
log(1 + x) = x -(1/2)x^2 +(1/3)x^3 -(1/4)x^4 + …
などでも良いでしょう。ただし、この級数は極めて収束が遅いので、
十分な桁数の近似値を得る為には、沢山の項を計算せねばなりません。
この点を改善する方法としては、級数加速法として知られているものが
イロイロありますから、そのようなものを使っても良いし、
別のアプローチとしては、log x = ∫[1≦t≦x](1/t)dt から
積分の近似法へ持ち込んでも良い。コンピュータは、もともと
この近似積分を行う為に生まれたという話もあります。

＞ きちんとした値をとれるかどうか、何かチェックする公式はあるのでしょうか。

については、「きちんとした値」とは何か？を、きちんと定めないと
話が始まりません。有理数になることあたりを「きちんとした」と考えているのなら、
log(a) b が有理数かどうかは、b が a の有理数乗かどうかだけのことですから、
a が具体的に与えられていれば、比較的簡単に判別できるでしょう。

回答No.4

staratras

具体例で考えて見ました
きちんとした値という意味が有理数ということならば、
log(2)15が有理数にはならないことは次のように示せます

log(2)15=n/m と表せたと仮定する （m,nは互いに素な自然数）
対数の定義より　　2の(n/m)乗=15　
両辺をm乗すると　　　　2のn乗=15のm乗
ここで左辺は偶数、右辺は奇数で明らかに矛盾する
よってlog(2)15は有理数ではない

この場合もしも真数が偶数ならばどうするか
例えばlog(2)10=log(2)〔2・5〕=log(2)2+log(2)5=1+log(2)5
log(2)5=n/m と考えれば同様です

もし、真数を2(底数）で割る操作を繰り返して最後の商が1なら
真数が底数の何乗かで表せるということです
例　log(2)16=log(2)〔2x2x2x2〕=4
この場合はもちろん有理数（整数）です

さらに底数と真数が同じ数のべきで表せる場合も有理数になります
例　log(8)32=log(2の3乗)〔2の5乗〕=5/3

回答No.3

hatake333

>きちんとした値をとれるかどうか、何かチェックする公式はあるのでしょうか。
近似値がわかれば問題ないのですが、疑問です。

　下のURLが参考になるかもしれません．底は自然対数eですが，近似値の計算法が書いてあります．

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/hyperbola/lntable.htm

回答No.1

Tacosan

log(2) 15 は多分超越数.
まず, 2^x = 15 となる x は整数ではないし有理数でもない. つまり無理数であることはこの時点で確定.
さらに, x が代数的無理数なら 2^x は超越数になるので, x は代数的無理数でもない. ただし, x が実数であることは確実なので結局「整数でも (整数でない) 有理数でも, さらに代数的無理数でもない」ということから超越数.
「ゲルフォント-シュナイダーの定理」なんて調べてみるといいかも.

お礼

すぐにご回答くださってありがとうございました！
ゲルフォント　シュナイダーの定理、調べてみました。
超越数自体、何かわかっていませんでしたので、これからそのあたり（どのあたり？）から調べないとせっかく教えてくださっている内容を理解するのも難しそうです。

お礼を記入したのですが、確認ボタンを押すとコメントが消えてしまう不具合でどなたの書き込みに対してもお礼申し上げられずすみません。
確認ボタンを押す→「セキュリティで保護されていない画面・・・云々・・・表示しますか？」というメッセージが表示される→ＯＫを押す→コメントが消えている
という動作が必ず２回発生します。
３回目は必ず、IDが認識できません、再度ログインして下さい、となります。
画面遷移時に「カシャッカシャッ」というはっきりした音がします。
（他のインターネット利用時にはしないが、MSNでの画面遷移時にはこの音がします。）ヘルプへの連絡もうまくできないので困っています。

この書き込みがうまく入力されるといいのですが！
本当にありがとうございました。