●○2変数関数の最大最小問題について。

質問

現在、大学院の受験勉強をしています。
過去問を解いているのですが、どうしてもこの問題が解けません。
どなたかお解かりになりましたら、回答宜しくお願い致します。
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f(x,y)=(2x+4y+3)/(x^2+y^2+1)の最大値・最小値を求めよ。
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回答No.1

take_5 · ベストアンサー

えっ、大学院？　こんなの高校数学の知識で十分。

Ｐ＝(2x+4y+3)/(x^2+y^2+1)＝（1/k）として、分母を払って整理すると、（x-k）＾2＋（y-2k）＾2＝5k＾2＋3k-1.　従って、5k＾2＋3k-1≧0.
ここから、Ｐ＝（1/k）の最大値と最小値くらいは求められるだろう。

お礼

ありがとうございました！
偏微分を使って解くことだけを考えていました。
簡単に考えればいいんですね。
わざわざご丁寧にありがとうございました！

回答No.2

info22

勿論
fx(x,y),fy(x,y)を求めて
fx(x,y)=fy(x,y)=0を解いて最大、最小を求める方法もあります。
最小値f(-(3+√29)/10,-(3+√29)/5)=-10/(3+√29)
最大値f((-3+√29)/10,(-3+√29)/5)=10/(√29 -3)

院を狙うなら、#1さんの方法とfx,fyを求める2つの方法を
やってみて上の同じ最大、最小値が求まるかやってみて下さい。

なお、f(x,y)のグラフも参考URLにあるフリーソフト「3D-GRAPES」で
描いてみると理解しやすいと思います。

参考URL：

http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

お礼

なるほど、やはり私が勉強不足だったみたいです。
偏微分を用いてもできるんですよね。
あまりにも計算が複雑になるので途中で諦めてしまいました。
わざわざご回答して頂きまして、ありがとうございました！