最小二乗法

質問

n組のデータ (xi, yi) を，特定点(X0, Y0) を通る直線 y = ax+b
でフィッティングしたい。最小二乗法で係数a，bを求めるため
の式を導きなさい。

という問題で

各データの残差を二乗した和が最小になるときのa,bを求めるのですが
特定点(X0,Y0)を通るにはどうすればよいでしょうか？

ただ単に、特定点を通らずフィッティングするやりかたはわかるのですが・・・。
よろしくお願いします。

回答No.3

boobee0125

特定点を通る場合のフィッティングは求めるパラメータが一つなので下記のようにできます。

(xi - Xo)・a ＝ yi - Yo 　 (i = 1,2,...,n)

を最小自乗法の正規方程式の形に変形して

Σ(xi - Xo)^2・a ＝ Σ{(xi - Xo)・(yi - Yo)}

これから

a ＝ Σ{(xi - Xo)・(yi - Yo)}/Σ(xi - Xo)^2

この結果から直線の方程式は下記のように求まります。

y - Yo ＝ a・(x - Xo)
⇔
y ＝ a・x - a・Xo + Yo
⇔
y ＝ a・x + b
ここに b ＝ Yo - a・Xo

回答No.2

noname#210617

x,yを(X0, Y0)を原点とするX,Yに変換し、原点を通る直線にフィッティングする。

お礼

返信ありがとうございます。

Σ(i=1..n)xi＝sx
Σ(i=1..n)yi＝sy
Σ(i=1..n)xi*yi＝sxy
Σ(i=1..n)xi^2＝sxx　　　　とおくとします。

特定点を通らずにフィッティングした結果
a＝(n*sxy-sxsy)/(n*sxx-sx^2)
b＝(sy*sxx-sx*sxy)/(n*sxx-sx^2)
となりました。

ここで Y0 = aX0 + bから
a=Y0-b/X0 , b=Y0-aX0を求め
これからを上式のa,bに代入し、a,bを求めるやりかたではできないでしょうか？？
ためにそれでやって、プログラムをたてたところ答えと違ったので違うと思うのですが・・・。

回答No.1

oyaoya65

>特定点(X0, Y0) を通る直線 y = ax+b
どうしても2つの定数a,bでフィッティングしたければ
a(x-X0)+b(y-Y0)=0
とおくしかないですね。

ひとつの定数aでよければ
ｙ＝a(x-X0)+Y0
ただし、この式ではx=X0の直線は表せませんのでx=X0はフィッティング対象から除かれます。