不定積分の問題について

質問

先ほどは質問悪かったです。すみません。
∫（tanX+1)^3 dx の解答をおしえてください。
(tanX+1)=tとおいたらいけませんか？
理解が浅いのでどうしても解けません。
学校のプリントの問題なんですが、答えには1/4(tanX+1)^4+C になってます。
一行で解答してあるので、どのようにしてこうなったのかがわかりません。
ほんとうにこの答えであってるのでしょうか？　誰かわかる人いたら教えて下さい。
お願いします。

回答No.3

noname#84841

置換しなくてもよいような気がしますが、
気のせいですか？
(tanx)'=(1/cosx)^2=1+(tanx)^2

（tanｘ+1)^3
=(tanx)^3+3(tanx)^2+3tanx+1
=(tanx)^3+(tanx)^2+tanx+1+2(tanx)^2+2tanx
=(1+tanx)(1+tanx)'+2{(tanx)'-1}+2tanx

∫（tanｘ+1)^3 dx=∫[(1+tanx)(1+tanx)'+2{(tanx)'-1}+2tanx]dx
=(1+tanx)^2/2+2tanx-2x-2log|cosx|+C

回答No.2

info22

先ほどの質問で置換の仕方をアドバイスした者です。

最初に
> 答えには1/4(tanX+1)^4+C
は間違った答えです。
微分しても（tanX+1)^3　にならないので明らか答えとはいえないね。

> (tanX+1)=tとおいたらいけませんか？
何の根拠をもってそのような置換を提案するのですか？
その置換は、積分をますます困難にするだけです。

回答者は経験者で積分の仕方も答えもわかっています。
しかし、質問者の丸投げ問題にそのまま解答をすると質問が解答と共に削除されるのがこのサイトのルールです。

質問者が自分で考え分かる範囲で解答を補足に書いて質問して下さいとアドバイスしたはずです。
置換の仕方のヒントも差し上げました。その先の積分を進めて補足に書いてください。
おまけのヒント）
置換後、部分分数展開すると簡単に積分できますよ。

回答No.1

33550336

先ほどの質問の何が悪かったのかわかってますか？
ここはわからない問題の答えを聞くところではありません。
まずは自分の考えたことを補足欄にお願いします。

補足

ご指摘ありがとうございます。
tanX+1=t dt/dx=1/cos^2X dx=1/cos^2Xdt
∫t^3・1/cosＸ^2dt
置換積分で解こうとするとどうしてもここで行き詰ってしまいます。