整列集合を添数集合とする任意の互いに素な整列集合の族も整列?

質問

下記の問題(2)で質問なのですが…

(1) Let A_1 and A_2 be disjoint sets, well-ordered by <' and <", respectively. Define an order relation on A_1∪A_2 by letting a<b either if a,b∈A_1 and a<' b,or if a,b∈A_2 and a <" b,or if a∈A_1 and b∈A_2.Show that this is a well-ordering.
(2) Generalize (1) to an arbitrary family of disjoint well-ordered sets, indexed by a well-ordered set.

「(1) A_1とA_2を整列集合で互いに素とする。それぞれの順序<'と<"とする。
A_1∪A_2の順序<をa,b∈A_1∪A_2がa∈A_1,b∈A_2の時,a<bとし,a,b∈A_1ならa<bはa<'bの意味とし,a,b∈A_2ならa<bはa<"bの意味とする。この時、A_1∪A_2は整列となる事を示せ。
(2) (1)を整列集合を添数集合とする任意の互いに素な整列集合の族に一般化せよ。」

[(1)の証明]
∀B⊂A_1∪A_2に対し,B⊂A_iなら∃minB(∵A_iは整列) (i=1,2)
B∩A_1≠φ且つB∩A_2≠φならば∃minB∩A_1,∃minB∩A_2なので
minB:=min{minB∩A_1,minB∩A_2}と採ればよい。

で大丈夫かと思います。

[(2)の証明]
整列な添数集合をNとしA_i(i∈N)の順序を <_i とすると
B∩A_i≠φ(i∈N)の時,集合{minB∩A_1,minB∩A_2,…}には最小元があるとは限りませんよね。

(2)はどのようにして示せばいいのでしょうか?

回答No.1

rinkun · ベストアンサー

(1)
> B∩A_1≠φ且つB∩A_2≠φならば∃minB∩A_1,∃minB∩A_2なので
> minB:=min{minB∩A_1,minB∩A_2}と採ればよい。
この辺は冗長じゃない? B∩A_1≠φならminB:=min(B∩A_1) で良いでしょ?

(2)
添数集合Nの部分集合I={i∈N:B∩A_i≠φ}を考えると、Nは整列なのでminIがある。
minB:=min(B∩A_minI)
で良いでしょう。

お礼

どうもありがとうございました。

a∈A_1,b∈A_2の時,a<b
を忘れてました。

回答No.2

tecchan22

＃１さんの回答で尽きていると思いますが、一言。

SakuraOnoさんは、この順序の意味を正しく理解していないでしょう？

（１）の定義、読みましたか？

ａ∈A_1 , b∈A_2 なら、ａとｂの順序はどうなるか、分かってますか？

整列集合を二つくっつけたときの「順序」の定義を、ちゃんと理解するのが先決。そうすれば、（２）も分かるでしょう。

お礼

どうもありがとうございました。

a∈A_1,b∈A_2の時,a<b
を忘れてました。