増加、減少

質問

微分、関数の値の増加、減少という範囲で分からないことがあったので質問します。

定義：　f'(x)＞ならば、f(x)はその区間で増加する。

問題：f(x)＝x^3－3ax^2＋3x－4について次の問いに答えよ。

f(x)がつねに増加であるように、aの値の範囲を定めよ。

この問題の解説に

f(x)がつねに増加であるための条件は、すべてのxについてf'(x)≧0である。　

と書いてあります。

自分は、なぜ定義とは違い、この場合は　＞　でなく　≧　を使うのか。いまいちよく分かりません；；

詳しく説明していただけると嬉しいです。

回答No.1

sanori

こんにちは。

あなたが疑問に思うのは、もっともなことです。

f(x)がつねに増加であるための条件は、

「すべてのxについてf'(x)≧0である。」
ではなく
「すべてのxについてf'(x)＞0である。」
です。

たとえば、
ｆ（ｘ）　＝　２
は、
ｆ’（ｘ）　＝　０
なので、
「すべてのxについてf'(x)≧0である。」
を満たします。
しかし、ｆ（ｘ）＝２　は、増加も減少もしません。

補足

回答ありがとうございます。

すみません、まだ、いまいち理解に苦しんでます；

傾きが０の時は増加してないので、傾き０を含むと　常　に増加ではない気がするんですが・・・。

あと、他の問題で：関数が増加する区間、減少する区間を求めよ。
y=x^2＋2x＋3
　　この答は、　x＜-1で減少　x＞-1で増加　
で　≧≦　ではありません。
日本語の違いによって、＜　≦　の使い分けがよく分からないです；