弧長

質問

r = 3 / (2-cosθ)
x = t + 1
y^2 = (12-3*t^2)/4

があらわす弧長を求めようと思います。

∫(1,2π)√((3/2cosθ)^2 + (-3sinθ/(2-cosθ)^2)^2)dθ の式で合っていますか？

といてみるとあまりにも複雑だったので心配になりました。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．
oshiete_goo さんのご回答拝見しました．

あ，そうか，
(1)　　r = 3 / (2-cosθ)
(2)　　x = t + 1
(3)　　y^2 = (12-3*t^2)/4
で，(2)(3)を合わせて(1)と同じということですか．
oshiete_goo さん，慧眼ですね．
私は(2)を見て，「ん？，直線の長さ？，話がよくわからん？」
なんて思ってしまったので，(2)(3)ペアに気づきませんでした(^^;)．
学生には「計算ばかりでなくて式の意味をよく考えろ」
なんていつも言っているのに汗顔の至りです．

oshiete_goo さんご指摘のように楕円の周長の問題で，
楕円積分の標準形(Legendre-Jacobi の標準形)にまで書き直しておられるので，
完璧回答で本質的につけ加えることはありません．

せっかくですから，あえて蛇足をちょっとだけ．
oshiete_goo さんの式
(4)　　L = 4a∫[0，π/2]√{1-k^2(sinφ)^2}dφ
の積分の部分
(5)　　E(k) = ∫[0，π/2]√{1-k^2(sinφ)^2}dφ
が第２種楕円積分と呼ばれるものです．
k=0,1 の場合は簡単に積分できますが，一般の k に対しては初等関数では表現できません．
中間の特別な k の値に対しては何か他の表現があったような気がしましたので，
手元の本を調べてみましたが，k=1/2 に対しては特に見つかりませんでした．
k=√(1/2) ですと
k(√(1/2)) = [Γ(1/4)]^2 / 4√π
なんていうのがありますが，これにしたってΓ関数が使われていますね．

蛇足ついでに，チェックのために(4)でも数値積分をやってみました．
No.1 の回答に書きました値 11.7397 にちゃんとなります．

なお，質問検索で「楕円積分」とやるとかなりヒットします．

回答No.2

oshiete_goo

＞r = 3 / (2-cosθ)・・・（１）
はすでにご指摘のあったように，（焦点からみた）楕円の極方程式のようで，直交座標だと
(x-1)^2／4 ＋ y^2／3＝１・・・（２）
ですから，
＞x = t + 1
＞y^2 = (12-3*t^2)/4
は（２）を　x-1=t　と置いて書き換えた式のおつもりなのでしょう．

（別解のつもりで多少続けると）
すると，点(1,0)を中心に書き換えて，あるいは楕円の中心が原点にくるように並行移動したと思って
X^2／4＋Y^2／3＝１　[長半径a=2,短半径b=√3]　
という楕円の周の長さと同じです．

これは解析的には求まらないことで有名な第２種完全楕円積分(のハズ)になって，
弧長L＝4a∫[0，π/2]√{1-k^2(sinφ)^2}dφ　　[k^2＝1－(b/a)^2＝1／4]
となりそうですが，筆者の手に負える代物ではありませんので，この回答の誤りの指摘も含め，さらなる講義は是非siegmund先生にしていただけることを期待しつつ，終わらせていただきます．

回答No.1

siegmund

状況がよくわかりませんが，極座標(r,θ)で表された曲線
(1)　　r = 3 / (2-cosθ)
の 0≦θ≦2π部分の長さ，ということでしょうか．
(2)　　x = t + 1
(3)　　y^2 = (12-3*t^2)/4
は別の話？

極座標では(r,θ)と(r+dr,θ+dθ)の間の微小長さ ds が
(4)　　ds = √(dr^2 + (rdθ)^2) = √{(dr/dθ)^2 + r^2}dθ
ですから，
(5)　　s = ∫(0,2π)√{[3/(2-cosθ))]^2 + [-3sinθ/(2-cosθ)^2]^2}dθ
ですね．
積分範囲と√の中の第１項が質問にあるのと違いますが
これは書き損ないかミスタイプでしょうね．
(私も書き損ないやミスタイプはよくやります --- 今回は大丈夫かな？)．

というわけで，書き損ない(？)は別にして，nah さんの表現で合っています．

でも，この積分は恐らく解析的にはできないでしょう．
数値積分は容易で，ちょっとやってみたら 11.7397 になりました．