lim(x→∞)x^p/e^x = 0 はなぜ？

質問

lim(x→∞)x^p/e^x = 0　
と参考書に書いてあったのですが、理由は書いてありませんでした。なぜこういえるのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

不定形の極限値を求める方法に、ロピタルの定理（参考URL）を使う方法が
あります。（大学受験では使えない可能性があります。）
質問の問題は∞/∞型の不定形の極限値を求める問題ですから
pが正整数の場合
ロピタルの定理をp回使うと
分子は定数p!になり、分母はe^xのままですから、
定数/∞型となってゼロに収束します。

ロピタルの定理が使えないなら
e^xのマクローリン展開
e^x=1+x+x^2/2!+・・・+x^p/p!+x^(p+1)/(p+1)!+・・・
をx＞0のもと、過少評価して
e^x＞x^(p+1)/(p+1)!＞0
逆数をとって
1/e^x＜x^(-p-1)
x^pをかけて極限をとると
0＜x^p/e^x=1/x→0 (x→∞)
(挟み撃ち法)
（証明終わり）

参考URL：

http://doraneco.com/physics/lecture/math/lHospital.html

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど、ロピタルの定理を使うと簡単ですね。

回答No.1

notnot

e^xを無限級数で表現するとわかると思います。