方程式の整数解

質問

a、b、cが整数で、1≦a≦b≦c　かつ　abc=a+b+cのとき、ab≦3であることを示せ

という問題です。

1≦a≦b≦c　より　a+b+c≦c+c+c=3c

だから、abc=a+b+c≦3c

1≦c　なので、両辺をcで割って

a+b≦3

というのが解説なのですが、解説の一行目、1≦a≦b≦c　より　a+b+c≦c+c+c=3cとはどういうことなのでしょうか。また、1≦a≦b≦c　の意味するものもあやふやです。a、b、cと順に大きくなっていかなければならないのか。
たとえばaは1以上ですからaが1だった場合、bはa以上、つまり1以上ですからbも1になり、cも1になる可能性、、、といったことはあり得るのでしょうか？　・・・さっぱり分かりません。よろしくお願いいたしますm(_ _)m

回答No.2

BookerL · ベストアンサー

＞1≦a≦b≦c　より　a+b+c≦c+c+c=3cとはどういうことなのでしょうか

　まず a+b+c という合計を考えます。
　ここで aの代わりに c を入れた c+b+c を考えると、c は a以上の数なので 先の合計 a+b+c 以上になります。b についても同じですから、a+b+c≦c+c+c となります。

＞1≦a≦b≦c　の意味するもの

　どこがわかりにくいのでしょうか。
　1≦a は aというある数があって、それは１以上である、というのはいいですね。実際に a がいくつかはわかりません。１かも知れないし２かも知れないし２００８かも知れません。
　a≦b は、ｂ という数があって、それは a 以上である、ということです。それだけのことです。

＞a、b、cと順に大きくなっていかなければならないのか

　イメージはそんな感じでしょうかね。ただ、大きくなるとは限らず、同じ場合もあり得ます。

＞aは1以上ですからaが1だった場合、bはa以上、つまり1以上ですからbも1になり、cも1になる可能性、、、といったことはあり得るのでしょうか

　1≦a≦b≦c という条件からだけなら a=b=c=1 というのもあり得ますが、「かつ　abc=a+b+c」という条件も満たさなくてはなりませんから、a=b=c=1 はダメですね。

お礼

詳しい解説をありがとうございました。

回答No.9

take_5

＃8さんに、座布団1枚差し上げます。。。。。笑

1≦a≦b≦cより　a≦c　‥‥(1)、b≦c　‥‥(2)
(1)＋(2)より、a＋b≦2c　‥‥(3)　(3)の両辺にcを加えると、a＋b＋c≦3c。　それだけの事だよ。

回答No.8

koko_u_

質問文に書かれている「解答」をそのまま再掲して「どうですか？」と言われても、きっと質問者は困るでしょう。

回答No.7

yukalice

a≦b≦cという条件があるのですから、
a＋b＋c≦３ｃ
となります。
だから、abc＝a＋b＋c≦３ｃ
となり、
abc≦３ｃの両辺をｃで割ればいいんです。

どうですか？

回答No.6

take_5

ミスった。。。。笑

＞a、b、cが整数で、1≦a≦b≦c　かつ　2*abc＝a＋b＋cのときa、b、cの整数値を求めよ。

　　　　　　　↓

a、b、cが整数で、1≦a≦b≦c　かつ　3*abc＝a＋b＋cのときa、b、cの整数値を求めよ。

回答No.5

take_5

＞全てに等号がついている以上、可能性としてはあり得る。

この問題を少し変形して、

a、b、cが整数で、1≦a≦b≦c　かつ　2*abc＝a＋b＋cのときa、b、cの整数値を求めよ。

と、すると、（a、b、c）＝（1、1、1）のみ。

回答No.4

take_5

＞だから、abc=a+b+c≦3c　1≦c　なので、両辺をcで割ってa+b≦3

それでも良いけど。

1≦c　なので、両辺をcで割ってa*b≦3とすれば、ab＝1,2、3であるから 1≦a≦bより、aとbの値は自動的に決まる。

＞1≦a≦b≦c　より　a+b+c≦c+c+c=3c

この手法は整数問題の基本。必ず覚えておく事。

＞つまり1以上ですからbも1になり、cも1になる可能性、、、といったことはあり得るのでしょうか？　・・・

全てに等号がついている以上、可能性としてはあり得る。

回答No.3

opechorse

正攻法はほかの方の書かれているとおりです

アンチな方法ですが
結論として、a=1,b=2,c=3しか整数解を持たないです
(証明はしていないですがまず間違いないです)
これだと質問の条件があっていることがわかりますよね

回答No.1

koko_u_

>解説の一行目、1≦a≦b≦c　より　a+b+c≦c+c+c=3cとはどういうことなのでしょうか。
そういうことです。落ち着いて考えましょう。

>1≦a≦b≦c　の意味するものもあやふやです。
>a、b、cと順に大きくなっていかなければならないのか。
そうです。

>aが1だった場合、bはa以上、つまり1以上ですからbも1になり、
>cも1になる可能性、、、といったことはあり得るのでしょうか？
不等式だけなら、当然ありますね。
この問題の前提 abc = a + b + c は満たしませんが。

しかし、整数である必要性がわかりませんね。