どこがまちがっているのかわかりません・・・

質問

「１～９までの数字が一つずつ書いてあるカードが、それぞれ１枚ずつ、合計９枚ある。これらを３枚ずつの３つのグループに無作為にわけ、それぞれのグループから最も小さい数の書かれたカードを取り出す。取り出された３枚のカードにｊかかれた数字の中で４が最大である確率を求めよ。」という問題です。

（模範解答）
９枚のカードを３枚ずつのグループに分ければ、取り出される３枚のカードは自然に定まるから取り出される３枚のカードは(9C3・6C3・3C3)/3=280(通り)
４が含まれるのは４を含むグループに１，２，３が含まれていないときだから、
[3{5C2・6C3・3C3}]/3！=100
よって100/250=5/14・・・答

解答では４を含むグループから考えて5C2・6C3・3C3となっていると思うのですが、なぜ４を含むグループに注目するのでしょうか？

それと、自分の解答なんですが、1*2/3*2/3*1/3 + 1*1/3*2/3*1/3 = 2/9の式はどこが間違っているのでしょうか？答えが違ってくるのですが。
１～９までのカードを１から順に入れていくと考えて、それで、[ ]を箱とすると、1*2/3*2/3*1/3は[1][2.3][4]のように別れる場合を、1*1/3*2/3*1/3は[1.2][3][4]と別れる場合をそれぞれ考えました。

回答No.7

hinebot

たびたび、済みません。
私の補足要求の書き方が悪かったようです。申し訳ない。
#6で補足要求したのは、
>１・(２／３)・(１／３)・(１／３)＝２／２７
の式のそれぞれの数字、
１、２／３、１／３の意味が理解できなかったんです。
が、ひょっとしてこういうことでしょうか？＜あとから、ひらめきました＞

[1][2.3][4]の場合
１のカードは、どこでもいいから　１
２のカードは１が入っている箱以外のどっちでもいいから　２／３
３のカードは２が入っている箱でないといけないから　１／３
４のカードは１、２・３が入っていない残りの箱でないといけないから１／３

そうだとすると２つ間違いがあると思います。
１つは、
>３のカードは２が入っている箱でないといけないから　１／３
>４のカードは１、２・３が入っていない残りの箱でないといけないから１／３
の部分。よーく、考えてください。１と２のカードの箱が決まれば３と４のカードの箱は決まっちゃいますよね。
なので、
>１のカードは、どこでもいいから　１
>２のカードは１が入っている箱以外のどっちでもいいから　２／３
>３のカードは２が入っている箱でないといけないから　１／３
>４のカードは１、２・３が入っていない残りの箱でないといけないから１／３
とはならないと思います。

もう一つは
>この４つの総和は４{１・(２／３)・(１／３)・(１／３)}＝８／２７になる
というのが間違い。単純に足してはいけません。
では、なぜか。１～４のカードを３つの箱に分けるとき
[1][2.3][4]、[1.2][3][4]、[1.3][2][4]、[1.2.3][4][]
の４種類ですべてでしょうか？
違いますよね。つまり、それぞれの分け方になる確率をかけてから足さないといけないわけです。

詳細に計算してませんけど、多分、こういうことだろうと推察します。

お礼

こちらこそ度々すみません。。。
いえいえ私の方こそ同じ内容をただ２度書いただけみたいな感じになってしまってごめんなさい。

＞ひょっとしてこういうことでしょうか？＜あとから、ひらめきました＞

えぇそうです。まさしくhinebot様がひらめかれたその通りに考えていました。うまく説明ができてなかってごめんなさい。

一つ目の間違いはよく考えたんですが、ちょっとわかりません。

＞１と２のカードの箱が決まれば３と４のカードの箱は決まっちゃいますよね。

つまり１つに決まると言うことですよね？hinebot様の仰るように考えると「３，４の場合は考えなくても良い＝確率を掛けなくていい＝任意」ということになると思うのですがどこで間違っているのでしょうか？・・・。

２つ目もちょっとわかりません・・・。「初めに１のカードがはいるのはどれでもいいから確率１」と考えたので、[1][2.3][4]、だけでなくて[2,3][1][4]などはわざわざ考えなくても含まれているのではないのですか？

何度もすみませんです。

回答No.6

hinebot

#1(#5)です。

申し訳ありませんが、
>１・(２／３)・(１／３)・(１／３)＝２／２７のセットになりますよね？
この式をどのように立てたかが分かりません。
それを教えていただければ、どこが間違っているか指摘できると思うのですが。
（頼りなくて済みません。）

お礼

いえいえ私の方が不親切な書き方で申し訳ないです(^^)

すみません、ちょっと見にくくなるかと思いますがご容赦下さい。
１～９までのカードを１から順に入れていくと考えて、[1][2.3][4]は１・（２／３・（１／３）・（１／３）の式で、[1.2][3][4]は１・（１／３）・（２／３）・（１／３）の式で、[1.3][2][4]は１・（２／３）・（１／３）・（１／３）の式で、[1.2.3][4][]は１・（１／３）・（１／３）・（２／３）の式だとそれぞれ思いました。これらを見ると順番は違いますが、全部同じ分数を同じ回数書けているのでこの４つの総和は４{１・(２／３)・(１／３)・(１／３)}＝２／２７になると考えました。どこが間違っているのでしょうか？よろしくお願いいたします。

回答No.5

hinebot

#1です。
お礼＆補足読みました。なるほど、問題が２つあったんですね。
(2)の方（ほう）は#4の方（かた）の通りなので、(1)について再考します。
模範解答のやり方については#1でいった

>４を含むグループに１～３が含まれていなければ、そのグループから出すカードは必然的に４になりますよね。

という考え方に他ならないわけです。
・４が含まれるグループの他の2つの選び方
⇒5Ｃ2通り（１～４を除く５つから２つ選ぶ）
・４が含まれないグループの3枚のカードの選び方
⇒6Ｃ3通り（４が含まれるグループの3枚以外の６つから３つ選ぶ）
・もう一つのグループのカードの選び方（実は一意に決まるんですけどね）
⇒3Ｃ3通り（残り3枚から3枚選ぶ）
ということから
>[3{5C2・6C3・3C3}]/3！=100
の式になる訳ですね。

さて、jiro_02さんのやり方を考えましょう。
題意（取り出される3枚のカードに４が含まれる。最大でなくてもよい）を満たす場合は、
[1][2.3][4]、[1.2][3][4]
のほか、#2の方の言われている[1.3][2][4]、さらに私が指摘した[1.2.3][4][]
があります。（もう一つ指摘した[1,2][3,4][] は確かに４が選ばれませんから題意を満たしませんね。）

[1][2.3][4]、[1.2][3][4]、[1.3][2][4]の３つは順番を変えればパターンとしては同じですので、一緒に考えます。
実はこれは#4の方の(2)の問題の回答そのものです。
これが、3*5C2*3C2=90 通り
あと、[1.2.3][4][]のとき
[1.2.3]で既に１グループが確定してますから、[4]のグループに入る残り２つの選び方を考えればよいわけです。
これが、5Ｃ2 = 10通り
計 90+10 = 100通り　ですね。

お礼

お返事どうもありがとうございます！！目から鱗が落ちました。そういうことだったのかとわかって今驚いています。違う面から考えて正解にたどり着くと言うことは、そのぶんだけ問題の意味に肉迫したと言うことですね！！感無量です！

ところで、僕が初めに考えたように１から順にカードを入れていくと考えると、[1][2.3][4]、[1.2][3][4]、[1.3][2][4]、[1.2.3][4][]も全部かける順番は違えど１・(２／３)・(１／３)・(１／３)＝２／２７のセットになりますよね？これを４倍すると８／２７となってしまい、また答えが違ってきてしまうのですが・・・。せっかく間違いを教えてもらったのにまだどこかで思い違いをしているのでしょうか？[1.2.3][4][]の場合も１・(１／３)・(１／３)・(２／３)＝２／２７ですよね？

回答No.4

kony0

私の回答

まず、９つを３つずつ３グループに分ける方法は、(9C3*6C3*3C3)/3!=280通り

題意を満たすわけ方は、
・４のあるグループを考えます。
・１，２，３の３つを、残りの２つのグループに分けます。→必ず２つと１つに分かれます。３通りの分け方。
・４のあるグループの、残り２つの選び方5C2通り
・１～３のうち１つだけあるグループに入る残りの２つの選び方3C2通り
・最後に残った１つは、自動的に残りのグループに分かれる。
ということで、3*5C2*3C2=90

ということで、答えは90/280=9/28なのですが・・・どうでしょう？

お礼

初めに・・・ごめんなさい。僕のミスで違う答えを書いてしまいました。kony0さんの答えで合っています。すみません。

非常に細かくご説明していただけてわかりやすいです。kony0さんの解法でもう一回じっくり考えてみます。どうもありがとうございました。

回答No.3

uyama33

（模範解答）
９枚のカードを３枚ずつのグループに分ければ、取り出される３枚のカードは自然に定まるから取り出される３枚のカードは(9C3・6C3・3C3)/3=280(通り)
４が含まれるのは４を含むグループに１，２，３が含まれていないときだから、
[3{5C2・6C3・3C3}]/3！=100
よって100/250=5/14・・・答

ですが、最初に細かなことですが
(9C3・6C3・3C3)/3！=280
100/2８0=5/14
でしょうか？
疑問点ですが、

４が含まれるのは４を含むグループに１，２，３が含まれていないときだから、

の部分ですが、
これだけでは、

４が最大値にはなりません

１，２，３，｜４，５，６｜７，８，９
のグループに分けると
代表は１，４，７
となり確かに代表には４が含まれますが、
代表値のうちで最大値は７です。
私は、この模範解答が理解できません。
私が、どこか誤解しているのでしょうか？

お礼

＞ですが、最初に細かなことですが
(9C3・6C3・3C3)/3！=280
100/2８0=5/14
でしょうか？

はい、その通りです。どうもすみません。失礼いたしました。

＞私は、この模範解答が理解できません。
私が、どこか誤解しているのでしょうか？

うわぁーーーーーーやってしまいました！！すみません、違う模範解答を書いてしまいました！ごめんなさい！！！ぎょえーーーーー。
この問題は（１）と（２）があって、
（１）が取り出された３枚のカードの中に４が書かれたカードが含まれている確率で
（２）が取り出された３枚のカードの中に４が書かれた数字の中で４が最大である確率だったのですが、私は（１）の模範解答を写してしまいました。申し訳ありません。いちおう（２）の模範解答は
「４が最大となるのは４を含むグループに１，２，３が含まれず、かつ１，２，３，が同じグループに属さない場合だから[3{5C2・(6C3・3C3 - 2)}]/3！=90通り　よって90/280=9/28・・・答」です。ゴメンナサイ。

それで、ボクの質問は（１）の解答に関してなのですが、よろしければもう一度目を通していただけませんか？すみません。

回答No.2

TK0318

＃１の方の疑問のとおり模範解答は[1,2,3][4][]のケースまで数えている気がします。一方jiro_02さんの回答では[1,3][2][4]のケースが抜けています。

よってどっちも間違っているような気がしますが・・・

お礼

すみません、写す解答を間違えてしまいました。本当に申し訳ありません。

この問題は（１）と（２）があって、
（１）が取り出された３枚のカードの中に４が書かれたカードが含まれている確率で
（２）が取り出された３枚のカードの中に４が書かれた数字の中で４が最大である確率だったのですが、私は（１）の模範解答を写してしまいました。申し訳ありません。いちおう（２）の模範解答は
「４が最大となるのは４を含むグループに１，２，３が含まれず、かつ１，２，３，が同じグループに属さない場合だから[3{5C2・(6C3・3C3 - 2)}]/3！=90通り　よって90/280=9/28・・・答」です。ゴメンナサイ。

それで、ボクの質問は（１）の解答に関してなのですが、よろしければもう一度目を通していただけませんか？すみません。

回答No.1

hinebot

>解答では４を含むグループから考えて5C2・6C3・3C3となっていると思うのですが、なぜ４を含むグループに注目するのでしょうか？

問題が「取り出された３枚のカードにかかれた数字の中で４が最大である確率を求めよ。」だからです。
４を含むグループに１～３が含まれていなければ、そのグループから出すカードは必然的に４になりますよね。
また、４を含むグループに１～３が含まれていなければ、１～３は別のグループに入っています。ですから、他のグループから出る数は１～３のいずれかということになり、４が最大になるという訳ですね。
しかし、よくよく考えたら[1,2,3]が１つのグループになったときは考慮されているんだろうか？という疑問が…。
※[3{5C2・6C3・3C3}]/3！=100 の式を詳しく吟味してないので、何ともいえませんが…。

>自分の解答なんですが、1*2/3*2/3*1/3 + 1*1/3*2/3*1/3 = 2/9の式はどこが間違っているのでしょうか？答えが違ってくるのですが。
>１～９までのカードを１から順に入れていくと考えて、それで、[ ]を箱とすると、1*2/3*2/3*1/3は[1][2.3][4]のように別れる場合を、1*1/3*2/3*1/3は[1.2][3][4]と別れる場合をそれぞれ考えました。

質問者さんの表現を借りると
[1,2][3,4][] とか、[1,2,3][4][] など、1～4が２つのグループに固まった場合が考慮されてないためだと思います。

お礼

こんにちは。お返事ありがとうございます。

＞問題が「取り出された３枚のカードにかかれた数字の中で４が最大である確率を求めよ。」だからです。

なるほど、制限の強い方から考えるという考え方ですね！

＞質問者さんの表現を借りると
[1,2][3,4][] とか、[1,2,3][4][] など、1～4が２つのグループに固まった場合が考慮されてないためだと思います。

すいません、私の思い違いかもしれませんが、[1,2][3,4][]だと、４が取り出されなくて題意と違ってくるし、[1,2,3][4][]だと３つめの箱に５～９がはいるわけだから、取り出されたカードの数の最大は４ではなく５～９になってしまいそうな気がするのですが。

補足

すいません、とんだお礼をしてしまいました。完全に誤解していました。ごめんなさい。

＞質問者さんの表現を借りると
[1,2][3,4][] とか、[1,2,3][4][] など、1～4が２つのグループに固まった場合が考慮されてないためだと思います。

この場合まで数えているから除外しなきゃいけないというお話だったのですね。すいません、違う意味にとってしまいました。

それでなんですが、すみません、僕のミスで違う問題の解答をのせてしまってまったく意味不明な質問になってしまいました。ごめんなさい。

実はこの問題は（１）と（２）があって、
（１）が取り出された３枚のカードの中に４が書かれたカードが含まれている確率で
（２）が取り出された３枚のカードの中に４が書かれた数字の中で４が最大である確率だったのですが、私は（１）の模範解答を写してしまいました。申し訳ありません。いちおう（２）の模範解答は
「４が最大となるのは４を含むグループに１，２，３が含まれず、かつ１，２，３，が同じグループに属さない場合だから[3{5C2・(6C3・3C3 - 2)}]/3！=90通り　よって90/280=9/28・・・答」です。ゴメンナサイ。

それで、ボクの質問は（１）の解答に関してなのですが、よろしければもう一度目を通していただけませんか？すみません。

＞しかし、よくよく考えたら[1,2,3]が１つのグループになったときは考慮されているんだろうか？という疑問が…。
ごもっともです。混乱させてしまって申し訳ありませんでした。