数学Ａ確率の問題

質問

箱の中に１、２、３のカードが２枚ずつ入っている。
この箱の中から一度に３枚取り出すとき、２が最大の数になる確率を求めよ。

…という問題なのですが、
私の考え方の間違いを教えてください。
（分母）６Ｃ３←これはＯＫ
（分子）まず、２のカードの２枚の中から１枚取り出す→２Ｃ２
　　　　次に、１のカード２枚と、２のカード１枚から２枚取り出す→３Ｃ２
よって、（２Ｃ２×３Ｃ２）／６Ｃ３

模範解答はたしか（２Ｃ２×２Ｃ１＋２Ｃ１×２Ｃ２）／６Ｃ３です。

模範解答は理解できたのですが、この問題、本当は３が最大の数になるとき、４が最大の数になるときも調べて期待値を出しましょうという問題で、なんか模範解答のようなやり方だとめんどくさいなーと思い、上記のやり方にしたのですが間違ってました…。
いまいちどこが間違っているのかわからないので教えてください。お願いします。

回答No.2

noname#130496 · ベストアンサー

間違ってるのはどこかという疑問について

おそらく分子は2C2×3C2ではなく2C1×3C2にしようと思ったのでは。
そうすると、2のカード2枚と1のカード1枚を取り出す場合の数（2）を重複して4と数えてしまいますね。
2C1と3C2のどちらに2のカードの内のどちらが入ってるか、本来は区別する必要がないわけですから。
だから分子は2だけ大きくなってしまうんだと思います。

お礼

すみません、書かれている通り、２Ｃ１の間違いです。

わかりました！
ずっと引っ掛かっていたのでやっとわかってすっきりです。
本当にありがとうございました。

回答No.3

Segenswind

2のカード2枚を区別していないことによる間違いです。

試しに、6枚のカードを、それぞれ1A、1B、2A、2B、3A、3Bとしてみます。

すると、

>（分子）まず、２のカードの２枚の中から１枚取り出す→２Ｃ２

2枚の中から1枚ですから、2C1ですが、とりあえずそれはさておき、

>次に、１のカード２枚と、２のカード１枚から２枚取り出す→３Ｃ２

ここで、2のカードについて2Aと2Bを一緒くたにしてしまっています。
この方式で考える場合、2Aまたは2Bを取り出したと考え、残った方と1のカード2枚から2枚取り出すということなので、
　　2C1×3C2
ですが、この中にはダブりがありますので、それを差し引きます。
すべて書き出して具体的に見てみますと、
2Aを最初に考えた場合、
　(1) 2A-1A-1B　　(2) 2A-1A-2B　　(3) 2A-1B-2B
の3通り（3C2）があり、
2Bを最初に考えた場合、
　(4) 2B-1A-1B　　(5) 2B-1A-2A　　(6) 2B-1B-2A
で、このうち(2)と(5)、(3)と(6)が、それぞれダブっています。
従って、最終的には、
　　2C1×3C2－2 ＝ 4　(＝ 2C2×2C1＋2C1×2C2)
となり、答えとしては模範解答と同じになります。

しかしこのやり方ですと、ダブりが幾通りになるのか、すべて書き出さないと分からないことが多いため、少しでも数が増えた時には非常に面倒になります（例えば、1、2、3のカードがそれぞれ3枚になった場合を考えてみてください）。
ですので、あまり推奨される方法ではありません。

そこで、模範解答では「1が2枚で2が1枚」と「1が1枚で2が2枚」という、ダブりが存在しない組み合わせを単純に足し合わせることで、解答を導いています。
こちらのやり方ですと、例えばカードがそれぞれ3枚になった場合でも、
「1が2枚、2が1枚」「1が1枚、2が2枚」「1が0枚、2が3枚」から、
　　3C2×3C1＋3C1×3C2＋3C0×3C3 ＝ 3×3＋3×3＋1×1 ＝ 9＋9＋1 ＝ 19
が簡単に導けます。

質問文のやり方でしたら、
　　3C1×5C2－11 ＝ 3×10－11 ＝ 19
となりますが……。
この「11」を導くのは、案外大変です。

回答No.1

noname#139112

簡単なとき方は、余事象の考え方です。
全部で６C3＝20通り
その中は
１、３のカードが1枚含まれるもの
２、3のカードが2枚含まれるもの
３、3のカードがまったくふくまれないもの
に分けられます。ですので、この場合では3がまったく含まれないものの場合の数を求めればいいので、3枚のうち、3のカードを2枚のぞいた4枚から3枚を選抜すればよいので、４C3を求めればよいのです。その答えは4。よって４/20=1/5です。

お礼

なるほど、そういう解き方もあるのですね。
勉強になります、ありがとうございました！