行列

質問

こんにちは。次の問題がわかりません。
A=
[a b b]
[b a b]
[b b a]

の固有値と固有ベクトルを求めろという問題なのですが

これの固有方程式|A-λE|を書き

|a-λ b b|
|b a-λ b|
|b b a-λ|

の値すなわち（a-λ)^3+2b^3-3(a-λ)b^3=0の解がどのようにしても
求まりません。(適当な値を入れても０になる解の見当が着かない）とても単純な問題なのですが・・・　うまいやりかたがあるのでしょうか？
どなたかお願いします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

どの行にも a が 1個と b が 2個あるから, a+2b が固有値の 1つです.

補足

そうなるのですか。。
なぜそのようなことがいえるのですか？？

回答No.4

Tacosan

「全ての行に a が 1個と b が 2個ある」ってことは, 全部の列を足すとどの要素も a+2b ですね. これは (1 1 1)^T を右からかけたことに相当して, 得られる結果が (a+2b) (1 1 1)^T だから「a+2b が固有値の 1つ」であることは一瞬でわかります.

お礼

ありがとうございました！！

回答No.3

info22

#1です。
因数分解のミスです。
> 左辺を因数分解すると
> (a-λ+2b)(a-λ-b)^2=0
正しくは
-(λ-2b-a)*(λ+b-a)^2=0

従って
> λ=a-2b,λ=a-b(重解)
λ=a+2b,λ=a-b(重解)
となります。

回答No.1

info22

>（a-λ)^3+2b^3-3(a-λ)b^3=0の解
方程式が間違っています。
正しい方程式は
（a-λ)^3+2b^3-3(a-λ)b^2=0
です。
左辺を因数分解すると
(a-λ+2b)(a-λ-b)^2=0
λ=a-2b,λ=a-b(重解)
が出てきますね。

お礼

すいません。ミスタッチでした。
そうなるのですか。どうもありがとうございました！