RCの微積回路について

質問

こんばんわ。
お世話になってます。
RC回路の微積回路についてですが電源の入力からVｒやVｃの出力波形を求めますよね？
これの求め方がどの本を読んでもいまいちピンときません。
そこでRCの微積回路について詳しく書いてあると思われるような本をもしご存知でしたら教えてもらえないでしょうか？

大雑把な質問で申し訳ないですがよろしくお願いします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

本の紹介ではないのですが、以下に導出方法（以前、私が自力で書いてメモしていたもの）を書いておきます。
基本的な積分回路についてだけですけれども。

電源Ｅ-------スイッチ------抵抗Ｒ---(Ｖ)-----｜Ｃ｜-------ＧＮＤ

コンデンサにたまっている電荷Ｑは
Ｑ＝ＣＶ　　・・・（あ）
よって、

抵抗の左側の電圧はＶ、右の電圧はＶ　なので、電源から来る電流をｉと置いて、オームの法則を適用すれば、
Ｅ－Ｖ　＝　Ｒｉ　　・・・（い）
ところが、回路は一本道なので、ｉは、コンデンサにたまる電荷の時間的変化と同じ。
よって、
Ｅ－Ｖ　＝　Ｒ・ｄＱ／ｄｔ　・・・（い）’

（あ）より、
ｄＱ／ｄｔ　＝　Ｃ・ｄＶ／ｄｔ　・・・（う）
これを（い）’に代入すれば、

Ｅ－Ｖ　＝　ＲＣ・ｄＶ／ｄｔ

という微分方程式の出来上がり。

（１／ＲＣ）・ｄｔ　＝　ｄＶ／（Ｅ－Ｖ）

ここで、Ｖ２＝Ｅ－Ｖ　と置けば、ｄＶ２／ｄＶ＝－１
よって、
（１／ＲＣ）・ｄｔ　＝　－ｄＶ２／Ｖ２
（１／ＲＣ）∫ｄｔ　＝　－∫ｄＶ２／Ｖ２
（１／ＲＣ）・ｔ　＋　Const.　＝　－lnＶ２
ｅ^(t/RC + Const.)　＝　１／Ｖ２
定数・ｅ^(－t/RC)　＝　Ｖ２　＝　Ｅ－Ｖ
と解けました。
ｔ＝０のときＶ＝０という初期条件を与えれば、定数＝Ｅです。
Ｅ・ｅ^(－t/RC)　＝　Ｖ２　＝　Ｅ－Ｖ
よって、
Ｖ　＝　Ｅ（１－ｅ^(－t/RC)）
と解けました。

なお、ｔを求めるには、これの逆関数にすればよいので、
Ｖ／Ｅ　＝　１－ｅ^(－t/RC)
ｅ^(－t/RC)　＝　１－Ｖ／Ｅ
ｅ^(t/RC)　＝　１／（１－Ｖ／Ｅ）
ｔ／ＲＣ　＝　ln（１／（１－Ｖ／Ｅ））

ｔ　＝　ＲＣ・ln（１／（１－Ｖ／Ｅ））

お礼

どうも丁寧な解説ありがとうございます。
電圧の式を逆関数にするとtを出せるというのも恥ずかしながら初めて知りました。
積分回路の基本的なことを詳しく解説して下さりありがとうございました。
また機会があればよろしくお願いします。

回答No.2

ojisan7

RCの微積回路について詳しく書いてある本は知りませんが、微分回路、積分回路の考え方は大切です。回路計算自体は、単純な計算ですから、ご自分で求めて下さい。

微分回路と積分回路で共通の方程式として
I/C+RdI/dt=dE/dt・・・(1)
が成立しますよね。
そして、微分回路の場合には
Vr=RI
として、これを、(1)に代入し、Iを消去すると、
dVr/dt+Vr=dE/dt
となります。あとは、この方程式をVrについて解けばよいわけです。
パルス電圧を入力（E)としたときの応答（Vr)を求めて下さい。解き方は、どんな方法でもよいでしょう。工学関係でしたらラプラス変換でしょうか。

他方、積分回路の場合には
Vc=∫Idt/C
として、これを(1)に代入し、Iを消去した微分方程式をVcについて解けばよいことになります。

微分回路、積分回路ともに初期条件が大切です。適切な初期条件を設定して下さい。

お礼

微積回路について詳しく教えていただきありがとうございます。
適切な初期条件を設定してもう一度考え直してみます。
ありがとうございました。