数学に詳しくない人に説明する方法

質問

亀と車が１００メートルスピード勝負します。
このままでは亀に勝ち目は無いので、亀だけ車より１メートル前からスタートします。
車が亀のスタート位置まで追いついた時、亀も動いているので必ずそこより進んでいます。
また車が次に亀がいた位置に追いついた時、亀はまた少し進んでいます。
それを繰り返していけば車は亀に追いつくことが出来ません。
よって亀は車より早くゴールします。

まあ実際は当然そうじゃないんですけど、上記の話を数学に詳しくない人にすると意外と納得されてしまうんですよね。
特に、「車が亀の位置に追いついた時、亀も動いているので必ずそこより進んでいます。」という一文が説得力があっちゃうらしく、違うと説明しても言葉に矛盾が見あたら無いので、なかなか納得してもらえません。
コーヒーブレイクでする話だから難しくなるような説明じゃ冷めちゃうんで、もう不思議だねーとごまかして終わらせているんですが、未だに納得いかんと悩んじゃってる人も居ます。

数学に詳しくない人が上の説明の間違いを理解してもらえるように、数式とかを一切使わず、分かりやすい言葉のみでうまく説明する方法はないでしょうか。
大事なのは「車が亀の位置に追いついた時、亀も動いているので必ずそこより進んでいる→亀が勝つ」という説明の間違いを証明することなので、亀の速度を時速１ｋｍ、車を３０ｋｍとすれば車が勝つのは当たり前とかそういう答えは要りません。
「車が亀の位置に追いついた時、亀も動いているので必ずそこより進んでいる→亀が追いつかれる瞬間」を綺麗に説明してくれる文章だと嬉しいです。

回答No.8

hermite · ベストアンサー

この問題において、「車が亀を追い越すことが出来ない」という間違いは、距離の和が100mに到達するかどうか、にかかっていると考えられます。

車が、亀のもといた位置に到達したとき、亀はその少し前にいる。この「少し前」というのを永久に繰り返したとして、亀はゴールにたどり着けるのか？　ということです。

仮に、車が1m進む間に亀は10cm進むとしましょう。現実にはもっと少ないでしょうが。車が亀のもといた位置にくるまでの時間を一単位時間とします。

0mの地点からの亀の距離は、
t=0 1m
t=1 1+0.1m
t=2 1+0.1+0.01m
・・・
となりますので、最終的に、1.11111111・・・と続きますね。
これ、どれだけ繰り返しても、小数点以下の桁が増えるだけで100どころか1.2にもなれないんじゃ？

っというような話をすれば、少なくとも亀はゴールできないことがいえるんじゃないでしょうか？
ゴールできないのはなぜか？　とくれば、「亀が追い抜かれるまでの距離しか考えていないから」でしょうね。

お礼

回答ありがとうございます。

足していっても増えていくのは小数点の、しかも重なり合っていかない位置とくれば、どんなに足していっても次の数値にはいけないのが一目でいいですね
まあ、できれば数式使わず言葉のみで説明できればよかったのですが、この場合は望みすぎというものでしょうか。
ともあれ、亀が進み続けてもゴールできないという状態が数学音痴の人にも分かってもらえるかもしれません。

もしどうしてもまた説明しなくてはならなくなったら、これで説明してみようかと思います。

回答No.7

snys51015

スタート位置が違いますので、車と亀には1mの距離があります。車と亀の速度がまったく同じであればこの距離が縮まることはなく、この問題文はそのまますんなりと当てはまります。車よりも亀の方がスピードが速い場合、車と亀の距離はどんどん広がり、車は追いつけません。この場合も問題文がそのまま当てはまると言えるでしょう。
亀よりも車の方がスピードが速いとき、当初あった1mの距離がどんどん縮まってきます。「車が亀の位置に追いついた時、亀も動いているので必ずそこより進んでいる」は確かに当てはまるのですが、それはあくまで一時的で、車が亀に”追いつくまで”の限定的な表現に過ぎません。”追いつくまで”とは、スピードの違いによって車と亀の距離どんどん縮まっていき、やがて距離がなくなったときです。その次の瞬間から、車は亀を追い越します。この時点で、車が亀より先に進んでしまいますし、「車が亀の位置に追いついた時、亀も動いているので必ずそこより進んでいる」「車は亀に追いつくことが出来ません。」という表現は当てはまらなくなります。亀と車でこの速度が保たれれば、亀は車を追い抜くことができないまま、車は亀よりも早くゴールします。「亀は車より早くゴールします。」も当てはまらなくなります。

で、どうでしょうか。
もっと簡単に言えば、「亀より車のスピードが速ければ距離はどんどん縮まる。亀の方が先にいる瞬間はあるにはあるが少しの間だけで、”永遠と続かない”。やがて車は亀を追い越す。」で十分説明にならないでしょうか。

ところで、この問題文には肝心な「亀と車の速度」が触れられていません。わかりやすくなるかな、と回答に速度を場合分けしましたが、この場合により結論が異なってしまいます。もちろん求めるところは常識の範囲内（車は亀より速く、速度は一定である）なのでしょうが、極端な速度設定では最終的な回答は変わってしまいます。例えば亀が超高速で、車が追いつく前に100mを駆け抜けるようなトンデモな速度設定だと、「亀は車より早くゴールします」が成り立ってしまいますしね。出題するときは定義しないと答えが定められないのではないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。

彼の抜けられない疑問の輪は、あくまで先の説明の中の「どうやれば車が亀に追いつくその瞬間が訪れるのか」なので、それでは無理だと思います。
もともとその説明で納得してくれるほど頭が柔らかい人だったなら、こんなに苦労していませんので。

あと、この問題の概念は「絶対的に遅い者が、どんなに早い者より少し前方からスタートするだけで勝てる不思議さ」を扱ったものなので、個別の速度設定は問題ではないと思います。
実は車は徐行運転で亀が勝つとかいうトンチ合戦をする気はありませんし、質問の中にも書きましたが、何秒後に車が追いついて何秒後にゴールするかを論点にしているわけではありませんから。

回答No.6

ousa

ANo.2です。
ANo.1の方が言われる様に【パラドックス】の問題です。因って例題の方面からのみ追っかけても小学生以下に説明するのは不可能です。
　尚、お礼文の中に有りました【一枚の絵】に付いては画用紙と鋏を使って検証していくうえでは、１枚の絵に戻りませんが数学では１枚に戻るとして説明します。理由はANo.3の方の０．９９９・・・＝１の説明と同じです。
　【一枚の絵】を時間の長さに喩えて説明するので有れば、『一枚の絵にはならない』と説明するのではなく、紙の大きさを時間に置き換えて半分の大きさを徐々に足して行っても元（半分に切った紙）の大きさの倍以上の大きさにはならないと説明しないと、《自動車は亀に永遠に追いつけない》を肯定する証明になってしまいます。最も亀と自動車ではスピードの比が余りにも違いすぎるので問題をより複雑にしています。

お礼

たびたび回答ありがとうございます。

説明を少し間違えていましたか。
まあ相手は間違いなく微塵も分かっていなかったと思うので問題ないですが。

どうやら皆さんの回答から説明するのは無理のようなので、彼にはこれからもたっぷり悩んでもらおうと思います。

回答No.5

Rice-Etude

No.1です。

この問題（ゼノンのパラドックス）の本質は、本来分割不可能な連続的に行われる運動という現象を、瞬間瞬間の分断された状態を繰り返すことで説明しようとすることで起きる、感覚の違いからくるものです。

例えばゼノンのパラドックスの中に「飛んでいる矢は止まっている」というものがあるのですが、これも本来分割不可能な運動であるはずの矢が飛んでいる状態を、ある瞬間だけを切り出して矢がどこにあるかだけを説明して、その状態を際限なく（無限に）繰り返していくことで「飛んでいる矢は止まっている」という誤った結論を導き出しています。

そうなってくると、ここでいう本当の問題は「無限とは何か？」ということ、あるいは「連続という現象は何か？」ということになると思うのですが、これを説明しようとなると哲学にも関わってくる部分でもあり、小学生に説明するのは難しいかもしれません。

一応参考URLを示しますので、これをヒントにしてください。

参考URL：

http://www6.plala.or.jp/swansong/000007tetugakumokuji.html

お礼

たびたび回答ありがとうございます。

大昔に高校の数学の教科書にちょろっと載ってた話を思い出してしただけなので、まさかこんな複雑で説明が難しい話だとは思っていませんでした。
ちなみに亀と車という設定はその時思いついて作っただけなので、亀が２５００年前の人と被っていたのはまた別の驚きでした。

回答No.4

proto

この話の結論である
「(車が亀に追いつく瞬間までは)亀は常に車より前に居る」
という事をただ言えばいいだけでしょう。

このお話から車が亀を追い越す瞬間やそれ以降の事を説明するのは不可能です。追い越す瞬間やそれ以降のことはどこにも書かれていませんから。
ですから亀が勝つとも車が勝つとも言えません。

このお話の語り方ではいつまでたっても勝敗の結論は出ない、とも言えます。
ゴールの手前(車が追い越す手前)の話をごちゃごちゃといつまでもするんですから、どっちかがゴールするまで話を聞いていようと思っても、いつまでも結論は出ませんよ。

もっとも車が亀に追いつくより前に亀がゴールに到達するように、ゴールを亀の直ぐ手前に設定すれば話は別ですが。

お礼

回答ありがとうございます。

つまり、もう放置でいいってことですね。
説明のしようが無いなら私もきっぱり諦められて気楽です。

回答No.3

miazsm

限りなく追いかけっこが続きそうですが、亀と車の距離は限りなく０（ゼロ）に近づいていきます。限りなく０に近づくとはどういうことなのか、それは０と同じではないのか。０になったら後は早いほうが先に行ってしまうと言えないでしょうか。たとえば1/3を小数点に直すと0.3333333......と限りなく3が続きます。これを３倍すると0.9999999......と限りなく9が続きます。でも1/3を３倍すると1となりますよね。1と0.9999999.....は同じと言えませんか。

お礼

回答ありがとうございます。

そこら辺の感覚的なことを飲み込んでくれるかどうかですね。
0.999999999999.......なんだから１と同じって考えていいじゃんと言って納得してくれるかどうか。

回答No.2

ousa

距離のみで考えてるから判らなくなるんです。
車が亀が元居た場所に移動する時間がだんだん短くなり０になります。
そのときが追いついた時です。
　似たような問題でボールのバウンドがあります。１０メートルの高さから落としたボールが半分の高さ５メートルまでリバウンドするとします。又、さらに落下すれば２．５メートルまで弾みます。弾む距離は小さく成りますが永遠に繰り返される様に思われますが、最初に１０メートルから５メートルの地点まで弾む時間を２秒とすると、５から２．５は１秒です。２秒・１秒・０．５秒・・・と時間が短くなりますのでトータルしても４秒以下です。永遠に続くと思われたものが、４秒後には止まっているんです。

お礼

回答ありがとうございます。

その説明は一応しました。
時間軸がどんどん短くなって、車が亀に追いつくまでを示した式なんですよね、私がした説明は。
ボールバウンドの話も、一枚の絵を半分に切って、そこにさらに半分にした絵を足していくと、いつまでたっても一枚の絵にはならないという説明をしたんですが、「だって亀前に進んでるじゃん」の一言で諦めました。

「車が亀の位置に来た時、亀は少し前に居る。どんなに時間が極小になっても亀は必ず前に居る。この言葉を繰り返せば、車が亀を追い抜く瞬間が来ない。ならどうやって車は亀を追い抜くのか」
ここを小学生でも分かる程度の言葉にするのは無理だと思い、私は諦めたしだいです。

補足

すみません、「小学生でも」と書きましたが、小学生以下かもしれません。

回答No.1

Rice-Etude

このパラドックスは「『ある距離までは』車は亀に追いつけない」あるいは「『ある経過時間までは』車は亀に追いつけない」という当たり前のことを『』の部分を省略して話をしているだけですよね。

であるなら、その『』の部分をちゃんと説明すればよいと思うのですが？例えば最初の話ですが、ほんとに100m移動するまでに車より亀が前にいる状態が続いているのか（あるいはある距離のところまでしかこの状態を続けられない）ということを説明すれば良いと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

ですから、それをうまく説明する言葉を求めているわけです。