平均の早さの正しい説明

質問

本日、ゼミナールでこんな問題をあてられました。
１００ｋｍの道のりを前半６０ｋｍを時速６０ｋｍで、
後半の４０ｋｍを時速２０ｋｍで移動した。
平均の速さはおよそどれだけか？

答えは、１００ｋｍを３時間かけて走っているので、
時速３３．３３３…ｋｍなのですが、
ここで先生が、
なぜ、６０ｘ０.６＋２０ｘ０.４では駄目なのか？
という質問をしてきました。

この式は、１００ｋｍの前半６０ｋｍを時速６０ｋｍ、
後半４０ｋｍを時速２０ｋｍで移動しているので
１００ｋｍの６０→時速６０ｋｍの６割
１００ｋｍの４０→時速２０ｋｍの４割
を足したものです。

間違っているのはわかるのですが、「なぜ？」
と、質問され、私以外の人も誰も答えられませんでした。
先生が納得いく説明をどなたかお願いいたします。

回答No.6

YHU00444

簡単に言えば、ANo.2のご回答にもあるように、速度というのが道のりと時間の比率を表しているから、ですね。
たとえばある区間の道のりをL_i、所要時間をt_i、速度をV_iとすると、L_i=V_i*t_iで、全体のそれをL,t,Vとしてt=Σt_i,L=ΣL_iが成り立ちますから、L/V=Σ(L_i/V_i)。よって1/V=Σ(L_i/L)*1/V_iという風に、速度の逆数について平均を取らないといけないわけです。

これは元の問題に戻って考えるとより分かりやすいのですが、いま「100kmの道のりを前半60kmを時速60kmで、後半の40kmを時速20kmで移動した。」とあるのを少し変更して、前半については60km/hで移動し、後半は0km/hで移動（つまり動かない）という風に条件を変えてみたとします。
すると当然車？は60km地点から永遠に動かないからt無限大で、平均速度はゼロになってしまいますが、Vの平均を距離の割合で取れば36とゼロでない値を取りますから明らかに矛盾することになる。ということからも、Vで平均を取るのがあまり適当ではないことは推測できるのではないかと。
※実際には速度ゼロではいろいろと面倒だから、速度をε（0に近い微少な数字）にするとツッコミを減らせると思う。

回答No.5

adinat

ちょっと違う視点から。

結論からいうと、平均の速さは単純平均(相加平均ともいう)では決まりません。実は調和平均と呼ばれるある種の平均があって、それに該当します。

aとbの調和平均とは1/(1/a+1/b)のことで、逆数の単純平均の逆数となります。

ややこしい平均のように思うかも知れませんが、抵抗R_1[Ω]、抵抗R_2[Ω]を並列につないだときの合成抵抗は、R_1とR_2の調和平均になります。これも単純平均ではダメな例です。

間違っているものは間違っている、といってしまえばそれだけですが、世の中、なんでも単純平均でよい、と考えること事態が間違いのもとで、なれてくると、逆に、何で単純平均でいいの？と聞きたくもなりますね。

たとえば現金100円を持っているとして、確率1/2で1割もうかり、確率1/2で1割損をするゲームを二回続けます。ただし儲けたお金はそのまま二回目のゲームにつぎ込みます。1回あたりで所持金はいくらになると仮定するのが妥当か？

これは1回勝って、1回負けるのがもっとも可能性が高いので、単純に1.1*0.9=0.99倍になると考えます。二回繰り返すのだから、1回あたりで、√0.99倍になると考えるのが自然です。a,bに対して√abを相乗平均と呼びます。上のゲーム、1/2で10円得をし、1/2で10円損をするので、期待値(単純平均)は100でイーブンです。しかし、このゲームをたとえば200回続けて行うとどうなるか。それはかなりの高い確率で所持金が減少します。この手のゲームを評価するには、期待値よりも相乗平均の方が理にかなっています。つまり100回勝って、100回負けるのがもっともありうる(最頻値！)であり、したがって200回後は1.1^100*0.99^100になっている。1回のゲームでは√0.99になっている、という分けです。ちなみに0.99^100≒1/e≒0.37なので、半数以上の人は所持金がもとの4割未満に落ちます。単純平均では見えないものがあるわけです。

ここで紹介した、単純平均(相加平均)、相乗平均、調和平均は重要な平均の三つの例ですが、他にもさまざまな平均が考えられています。要は、考えている問題に適する平均を考えないとダメだということであり、いつでも足して二で割っているようでは状況が見えなくなることもあるのです。

回答No.4

saezuri

前半距離60Km÷時速60Km/h＝時間1ｈ
後半距離40Km÷時速20Km/h＝時間2ｈ
よって
合計距離100km÷時間3h＝時速33.3…km/h

が元の問題の答えの求め方だと思いますが

なぜ６０ｘ０.６＋２０ｘ０.４では駄目なのか？

　時速（km/ｈ）×時間（h）＝距離（km）
　距離（km）÷時間（ｈ）＝時速（km/h）
　距離（km）÷時速（km/h）＝時間（h）

上の距離・時速・時間の求める式に当てはまらないですし

時速60km/h×距離比率0.6（距離60km÷距離100km）＝36？
時速20km/h×距離比率0.4（距離40km÷距離100km）＝8？

36+8＝44？

何が求められるのかわかりませんね

単位が時速では無い答えが出る為その式は間違いといえば納得させ…られないかな？

回答No.3

noname#47975

なぜ、６０ｘ０.６＋２０ｘ０.４では駄目なのか？
という質問をしてきました。

時間比が３：２であるならば上記の計算式で良いです。
今回の場合は、距離比が３：２であって時間比ではないので、
上記の式では駄目です。

また、速度が一定の場合は、距離と時間は比例関係にありますが、
速度が一定でない場合は、距離と時間は比例しません。

なお、今回の場合、距離比が３：２であり、速度比が３：１である
事から時間比は１：２となります。

回答No.2

a-saitoh

速度というものは、　距離÷時間　だからです。二つの速度の平均を出すなら、分母側、つまり時間で案分しなければなりません。
この問題だと、
全所要時間の1/3を60km/hで、2/3を20km/hで走りました
ですよね。
平均速度は

1/3・60+2/3・20=33.33333　km/h

回答No.1

puchner

求められているのは「１００ｋｍの距離を３時間かけて移動したときの平均速度」だと思いますので、１００／３[ｋｍ／ｈ]になると思います。

時速６０キロでの６割は時速３６キロだし、時速２０キロの４割は時速８キロになるわけですから、質問内容に反してますよね。
そんな数字、出す必要ないんです。

簡単に言ってしまえば、論点が違うということでしょう。

簡単なことに置き換えると、
1/2＋1/3が5/6にならずに2/5ならないのはなぜ？
と言われているのと同値だと思います。