亀と人間が競争した際に人間が亀を抜かせる理由

質問

これは数学なのでしょうか？
自己判断で数学と判断し、ここで質問させていただきます。

亀が人間の数ｍ向こうにいて、同時にスタートした際に、人間が最初に亀がいたところにつく頃には亀も数ｃｍ進んでいて、
人間が数ｃｍ向こうのさっき亀がいたところにつく頃には亀は数ｍｍ向こうの所にいる、そこに追いつく頃には、また少し亀が進んでいる・・・
となって永遠に人間は亀を抜かせないのじゃないでしょうか？
しかし、実際に人間は亀を抜かせる・・・
この矛盾点について数年間悩んでいます。
どうかよろしくお願いします。

回答No.4

minofenv · ベストアンサー

便宜上、人が秒速１メートル、亀が秒速０．５メートルで、亀が人の２メートル先にいると仮定します。

人が最初に亀がいたところにつくのは、２秒後になります。そのときには亀はさらに１メートル先にいます。

次に人が亀がいたところにつくのは、１秒後になります。そのときには亀は０．５メートル先にいます。

コレを続けていくと、亀が人より先行するのは、

２ｍ、１ｍ、０．５ｍ。０．２５ｍ、０，１２５ｍ……

と半分ずつに減っていきます。したがって、人が亀がいた場所につくのにかかる時間は、

２秒、１秒、０．５秒、０．２５秒、０．１２５秒、……

と半分ずつに減っていきます。

この時間を合計していくと、

２秒、３秒、３．５秒、３．７５秒、３．８７５秒、……

と、４秒との差が半分づつになっているだけで、４秒より大きくなることはありません。したがって、この計算を何度繰り返しても、４秒より前の時点を無限に細かく区切って計算しているだけ、ということです。

ちなみに、最初の仮定をみると、人は亀に秒速０．５ｍづつ近づいているので、２メートルの差を詰めるには計４秒かかります。

このように、実際には４秒かかって追い越す行動を、４秒より前の時点で無限に区切って計算しているだけなので、何回足してもおいつかない計算になるのです。

お礼

とてもわかりやすいです！ありがとうございます。

回答No.7

turbo27

なるほど、面白い考えですねｗ。
おっしゃる意味、よくわかります。

ただ、あなたのおっしゃる場合は「人間と亀の進んだ距離」というより、「人間と亀の間の距離」に注目し、それが時間ごとに減っていくという考え方ですよね。
ここで永遠に追いつかない為には新たに「別の条件」がいりますよ。
例えば「人間と亀の間の距離は毎分1/2（２分の１）になる」と言うような条件です。その場合は１分後に距離が1/2、また１分後に1/2となり永遠に追いつかないですね。限りなく「亀と人間の距離」は０に近づいていきますが追いつきません。
この条件の場合は「人間の速度」が亀との距離に応じてどんどん遅くなっていかないといけないです。つまり亀に近づく度に「速度差」が限りなく０に近づいていくわけですねｗ。

それに対して質問の場合は、亀も人間も等速度運動をしているわけです。ここが違いますｗ。
亀が分速１ｍ、人間が分速１００ｍなら、１分後に９９ｍ差がつまります。２分後なら１９８ｍつまりますね。
最初の亀と人間の距離がいくらかによって、必ずいつか追いつき追い越しますます。

つまり追いつく場合は人間の速度が「一定」＝等速度運動
追いつかない場合は人間の速度が「変化する」＝加速度運動
と言うふうに、無意識に条件を変えてしまったので矛盾がでてきたわけですねｗｗｗ。

回答No.6

ipa222

古代ギリシャのパラドクスですね。
ある時間までは、おっしゃるように追い抜くことはできません。
ある時間とは、亀と人が並ぶ時間です。
要するに、時間を限定して考えれば、おっしゃるように追い抜くことができません。

その問題を言い換えるならば、、、

「人が亀と並ぶまでの間は、亀は人より先に進んでいる。その間は、人は亀を追い抜くことはできない。」
ということですね。

補足

そういうことです。

回答No.5

OsieteG00

http://www.geocities.jp/oku2jp/
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4062572788/503-0914591-3343168

アキレスと亀のパラドクスですね。

哲学的にいうと解釈は多数あります。
数学的にいうと、時間と距離は無限には分割できないからといったところでしょうか。

お礼

わざわざＵＲＬを持ってきて下すってありがとうございました。

回答No.3

ginlime

物理では、位置を時間の変化量で微分したものが速度です。亀の速度より人間の速度が10倍速ければ、その速度を時間で積分したものが位置になりますから、絶対に追いぬかれることが真実です。最初の解釈は速度では無く位置の問題として捉えていますが、速度が違えば必ず早いほうが追い越します。（等速運動です）

お礼

詳しい説明ありがとうございます。
というとは、最初の解釈は間違っているのでしょうか？

回答No.2

fallen_angel

単位時間における走行距離が、
　　亀＜人間なら追い抜けます。
逆に亀＞人間なら追い抜けません。

回答No.1

kiyocchi50

ヒントは「時間」です。

お礼

時間ですか・・・
参考にして考えてみます