大学の電気回路問題

質問

お世話になります。10数年ぶりに大学で使ってたマグロウヒルの大学演習シリーズ・「電気回路」を再度勉強しなおしております。

最初のほうのページにある問題がどうしても理解できず、苦しんでいます。
お心得のある方のご指導をお願いいたします。

[問題]
下記のような回路があります。
______。 。______
| S |
| |
C R
| |
| |
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Cはキャパシタ、Rは抵抗、Sはスイッチで
C=2μF , R = 10Ω です。

Cに電荷qが蓄えられており、スイッチSを閉じると抵抗Rで
3.6x10^-3(J)のエネルギー全部が消費されます。
キャパシターに最初いくらの電荷量qがあったか。

[私の考え]
q = cv から、キャパシタに加わった電圧Vcは
Vc = q ÷ (2x10^-6) (V)
となります。

この電圧が抵抗Rにかかるので、抵抗Rにかかる電圧Vrと流れる電流Irは
Vr = 10 x Ir (V)
となります。

式変形して
Ir = Vr ÷ 10 (A)

一方、VrはVcと等しくなりますから
Vr = q ÷ (2x10^-6) (V)
となり、これをIrの式に代入して下記のように書き直せます
Ir = q ÷ (2x10^-5) (A)

したがって、抵抗Rでの電力pは
p = VrIr = q^2 ÷ (2x10^-6 x 2x10^-5) (W)

となります。

また、エネルギーwは
w = ∫pdtより
w = ∫q^2 ÷ (2x10^-6 x 2x10^-5) dt
となり、これが3.6x10^-3(J)に等しいと考えます。

すなわち
3.6x10^-3 = ∫q^2 ÷ (2x10^-6 x 2x10^-5) dt

ですが、ここから先にどう展開していけばよいのか
わかりません。

長々と書きましたが、よろしくご指導お願いいたしますm(_ _)m。

回答No.5

walkingdic · ベストアンサー

>Ｖ＝Ｃ＊Ｒ＊ｄＶ／ｄｔ
>の式が
>Ｖ＝Ｖ０＊ｅｘｐ［－ｔ／ＣＲ］
>となる理由が正直わからなかったです^^;;
微分方程式の解法ですね。
まず、申し訳ありませんけど、電流の方向を間違えていて、これを書くのであれば、
>Ｖ＝－Ｃ＊Ｒ＊ｄＶ／ｄｔ
でないと正しくないですね。（その前の式でのＩの方向による）

ためしに、
Ｖ＝Ｖ０＊ｅｘｐ［－ｔ／ＣＲ］
を微分方程式に代入したら式が成立するのは確認できますよね。
（ＶとｄＶ／ｄｔの双方に代入）

この微分方程式はかなり基礎的なものなので、一度微分方程式の勉強をされるとよいのではと思います。回路ではもっと込み入った微分方程式が出てくることも多いですから。

お礼

ご説明ありがとうございました。
微分方程式の参考書を早速手配して、理解していきたいと思います。

回答No.4

hermite

ご質問の方法での解法については既に回答がありますので、そちらをご覧ください。ここでは、W=(CV^2)/2を用いる方向でいきます。なぜなら、過渡的な現象を解析するわけではないので、途中経過を気にする微分方程式は適切でないからです。

W=(CV^2)/2
Q=CV

コンデンサに蓄えられたエネルギーWとRでの消費エネルギーは等しいので、この連立で、あっさりQが求められてしまいます。

なお、W=(CV^2)/2を知らないとして、導出しておきます。
C*dV/dt=I
P=VI
であるので、
P=CV*dV/dt
=d/dt{(CV^2)}*1/2　　(d/dt(V^2)=2V*dV/dt)
より、
∫Pdt=(CV^2)/2
となり、左辺はワットの時間積分なので、エネルギーとなります。

お礼

ご回答有難うございます。

どうやら私自身、微分積分の知識がもう少し必要な気がしました。

回答No.3

walkingdic

すでに指摘があるように簡単にはコンデンサに蓄えられたエネルギＥ＝Ｃ＊Ｖ＾２／２の式を使えばあっというまに解けるのですが、、、、、
それを知らずに導出することを考えると、

Ｅ＝∫Ｐｄｔ
Ｐ＝Ｖ＊Ｉ＝Ｖ＾２／Ｒ　（Ｖ＝Ｒ＊Ｉから）
Ｑ＝ＣＶ　故に　Ｑ０＝ＣＶ０　（Ｑ０初期コンデンサ電荷量、Ｖ０初期電圧）
Ｉ＝ｄＱ／ｄｔ＝Ｃ＊ｄＶ／ｄｔ
なので、
Ｖ＝Ｃ＊Ｒ＊ｄＶ／ｄｔ
この微分方程式の解は、Ｖの初期値をＶ０として、
Ｖ＝Ｖ０＊ｅｘｐ［－ｔ／ＣＲ］

Ｅ＝∫Ｐｄｔ＝（１／Ｒ）＊∫Ｖ＾２ｄｔ
　＝（Ｖ０＾２／Ｒ＾２）＊∫｛ｅｘｐ［－２ｔ／ＣＲ］｝ｄｔ
ここで、
∫｛ｅｘｐ［－２ｔ／ＣＲ］｝ｄｔ＝ＣＲ／２
（２ｔ／ＣＲ＝ｘとおいて置換積分すれば答えは出る。積分範囲は０から∞）
よって
Ｅ＝（Ｖｏ＾２／Ｒ＾２）＊（ＣＲ／２）＝Ｃ＊Ｖ０＾２／２

Ｖ０＝Ｑ０／Ｃ　を代入すれば、

Ｅ＝Ｑ０＾２／（２Ｃ）

Ｑ０＝ｓｑｒｔ［２ＣＥ］

となる。結果Ｒの値は関係ない。ＣとＥがわかれば答えは出る。

補足

ご回答有難うございます。

私の考え方で説明いただいて、非常に感謝いたしております。

ただ、微分の関するところでもう少し、数学的なお話をいただければ
と思いました。
Ｖ＝Ｃ＊Ｒ＊ｄＶ／ｄｔ
の式が
Ｖ＝Ｖ０＊ｅｘｐ［－ｔ／ＣＲ］
となる理由が正直わからなかったです^^;;

微分に関する知識だとは思うのですが、
「この教科書みろ」的なご指導でもかまいませんので、
ご教授ください。

回答No.2

rabbit_cat

＃１の方の仰るとおり
1/2*C*V^2 = W
Q = C*V
で終わりですけど。。

一応、ご質問のように真面目に計算する方針でいくとすると、
すでにでている
W = ∫q^2/(R*C^2) dt
という式に加えて、
dq/dt = -Ir = -v/R = -q/RC
という微分方程式も一緒に考ればいいと思います。
最終的には、t=0でのqからはRが消えるはずです。

お礼

ご回答有難うございます。
解法を聞くと、なんとも簡単な計算ですね^^;;;

回答No.1

Tacosan

これ, 抵抗で消費されるエネルギーは結局キャパシタが最初に持っていたエネルギーそのものですよね. キャパシタの容量と端子間電圧から, キャパシタの持つエネルギーは計算できませんでしたっけ?

お礼

ご回答有難うございます。