困っています（パート2）

質問

有理数からなる数列｛Ａｎ｝、{Ｂｎ}（ｎ＝１，２，３・・）を（１＋√２）＾ｎ＝Ａｎ＋Ｂｎ√２により定める。この時、{Ａｎ}、{Ｂｎ}は次の関係式を満たす。
Ａｎ+1＝□Ａｎ＋□Ｂｎ、Ｂｎ+1＝□Ａｎ＋□Ｂｎ。また、（１－√２）＾ｎ＝□Ａｎ＋□Ｂｎとなるから、Ａｎ＝□、Ｂｎ＝□
□に当てはまる数を求めよ。
どうしたら良いのか全く分かりません。回答を宜しくお願いします。

回答No.3

eatern27

#２です。
最後の
Ｂｎ＝{(１+√２)^n－(１-√２)^n}/２
訂正します。
Ｂｎ＝{(１+√２)^n－(１-√２)^n}/２√２
＝{(１+√２)^n－(１-√２)^n}√２/４
です。
すいませんでした。

回答No.2

eatern27

Ａ(n+1)＋Ｂ(n+1)√２＝(１＋√２)^(ｎ＋１)＝(１＋√２）^ｎ(１＋√２)＝(Ａｎ＋Ｂｎ√２)^ｎ(１＋√２)
＝Ａｎ＋２Ｂｎ＋(Ａｎ＋Ｂｎ)√２
数列｛Ａｎ｝、{Ｂｎ}は有理数なので
Ａ(n+1)＝Ａｎ＋２Ｂｎ、Ｂ(n+1)＝Ａｎ＋Ｂｎ

(1－√2)^n＝Ａｎ－Ｂｎ√2
√２のつくものには、"－"がつき、√２のつかないものには"＋"がつきます。
したがって、Ａｎ－Ｂｎ√２となります。

(１+√２)^n＋(１-√２)^n＝(Ａｎ＋Ｂｎ√２)＋(Ａｎ－Ｂｎ√２)＝２Ａｎ
(１+√２)^n－(１-√２)^n＝(Ａｎ＋Ｂｎ√２)－(Ａｎ－Ｂｎ√２)＝２√２Ｂｎ

Ａｎ＝{(１+√２)^n＋(１-√２)^n}/２
Ｂｎ＝{(１+√２)^n－(１-√２)^n}/２

回答No.1

rei00

私も自信がないので前半だけ。

　『（１＋√２）＾ｎ＝Ａｎ＋Ｂｎ√２により定める。』ですから，

　　　(1+√2)^(n+1) = [(1+√2)^n]・(1+√2)
　　　　　　　　　　= (An+Bn√2)・(1+√2)
　　　　　　　　　　= An+Bn√2 ＋ An√2+Bn・2
　　　　　　　　　　= (An+2Bn) ＋ (An+Bn)√2

　したがって，
　　　An+1 ＋ Bn+1√2 ＝ (An+2Bn) ＋ (An+Bn)√2

　各辺の実部同士，虚部同士を等しいと置けば，
　　　An+1 = An+2Bn，Bn+1 = An+Bn

　ところで，
> Ａｎ＝□、Ｂｎ＝□
> □に当てはまる数を求めよ。
　とありますが，An, Bn は数にならないのでは？