数列の問題が分かりません

質問

a1=1,an+1=3an+4n(n≧1)で表される数列｛an｝がある。

(1)an+2n=bnとおくとき、bn,bn+1の間に成り立つ関係式を求めよ。

(2)bnを求めよ。

(3)anを求めよ。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

(1)a_{n+1}+2(n+1)=3(a_n+2n)+2と変形できるから，b_{n+1}=3b_n+2

(2)b=3b+2をとくとb=-1．(1)の漸化式からb=3b+1を辺辺引くとb_{n+1}-b=3(b_n-b)

b_{n+1}+1=3(b_n+1),b_1+1=a_1+2+1=4∴b_n+1=4・3^{n-1}=3^n,b_n=4・3^{n-1}-1

(3)a_n=b_n-2n=4・3^{n-1}-2n-1

お礼

御回答ありがとうございました。