数列の問題が分かりません

質問

a1=0,an+1=2an+(-1)^n+1(n≧1)で表される数列｛an｝がある。

(1)bn=an/2^nとおくとき、bn+1、bnで表せ。

(2)bnを求めよ。

(3)anを求めよ。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

(1)a_{n+1}/2^{n+1}=a_n/2^n+(-1/2)^{n+1}であるから，

b_{n+1}=b_n+(1/4)(-1/2)^{n-1}

(2)n≧2のとき

b_n=b_1+Σ_{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)=a_1/2+Σ_{k=1}^{n-1}(1/4)(-1/2)^{n-1}=(1/4){(-1/2)^{n-1}-1}/{-1/2-1}
=(1/6){1-(-1/2)^{n-1}}

これはn=1でも成り立つ．

b_n=(1/6){1-(-1/2)^{n-1}}　(n=1,2,・・・)

(3)a_n=2^nb_n=(1/3)(2^{n-1}-(-1)^{n-1})

お礼

丁寧な解答ありがとうございました。