量子力学（中心力場の波動方程式）

質問

中心力場の波動方程式を変数分離して、角度部分（φ）の方程式

∂^2/∂φ^2　Φ = - m^2 Φ

を解くときの質問です。普通の教科書では、この答えは、

A exp( imφ )

とものすごくすんなり出していますが、何故重ね合わせを考えて、

A exp( imφ ) + B exp( -imφ )

と書かないのでしょうか？（書いてはいけない？）重ね合わせを考えないと一般解にはならないと思うのですが・・・。

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

>何故重ね合わせを考えて、Aexp(imφ) + Bexp(-imφ)と書かないか？
結論を言えば、物理的な解釈を加えているからです。２次元の角運動量演算子はh/i*∂/∂φとなりますね。固有方程式は、
h/i*∂Φ/∂φ=hmΦ・・・（Ａ）
となります。ただしhはｈバーです。
この角運動量と関連づけるために、
A exp( imφ ) + B exp( -imφ )
ではなく、
A exp( imφ )
とするのです。
（Ａ）式については量子力学の教科書を見てください。

お礼

ご回答ありがとうございます。

物理的解釈を加えている、とのことですが、ここでの”物理的解釈”というのは”波動関数が角運動量演算子の固有関数になっているはずだ”ということでしょうか？

もし、φ方向の波動関数が角運動量演算子の固有関数になっていなければ、それと交換可能なハミルトニアンの固有関数でもない。

時間に依存しないシュレーディンガー方程式を解いているのだから、ハミルトニアンの固有関数でない関数が答えになるはずがない。

・・ということでしょうか？