応力の平衡方程式について

質問

応力の平衡方程式についてなんですが、極座標系(r,θ)の平衡方程式の導出を教えてください。お願いします。

回答No.1

Meowth · ベストアンサー

応力テンソル
σ(テンソル）=σijeiej [eiejはディアド積]
∇=ei∂/∂xi+ej∂/∂xj
とする。2次元極座標(r,θ)では
応力テンソル
=σrrerer＋σrθereθ＋σθr eθer＋σθθeθeθ
∇=er∂/∂r+eθ　1/r∂/∂θ
応力の平衡方程式は
∇・σ=F[ σはテンソル、Fはベクトル、∇・はdiv]
基底の微分で０でないものは
∂er/∂θ=eθ
∂eθ/∂θ=-er
成分を代入する 左辺=
[er・∂/∂r+eθ・1/r∂/∂θ][(σrr)erer+(σrθ)ereθ+(σθr) eθer+(σθθ)eθeθ]
=
(微分がテンソル成分にかかる項）[内積が０になる項は０]
=[∂(σrr)/∂rer+∂(σrθ)/∂reθ]+[1/r∂(σθr) /∂θer+1/r∂(σθθ)/∂θeθ]
(微分がディアド積の前成分にかかる項）[内積が０になる項は０]
+[(σrr)er+(σrθ)eθ]/r
(微分がディアド積の後成分にかかる項）[内積が０になる項は０]
+[(σθr) eθ-(σθθ)er]/r
成分ごとに書けば
r成分：
[∂(σrr)/∂r]+[1/r∂(σθr)/∂θ]+(σrr)/r-(σθθ)/r
=[∂(σrr)/∂r]+[∂(σθr)/∂θ]/r+[(σrr)-(σθθ)]/r
θ成分
∂(σrθ)/∂r+1/r∂(σθθ)/∂θ+(σrθ)/r+(σθr)/r
=∂(σrθ)/∂r+1/r∂(σθθ)/∂θ+2(σrθ)/r　[σrθ=σθrをつかう]
または、σrr→σr　σθθ→σθ　　σrθ→τrθ　をつかって
応力の平衡方程式にすれば

r成分：[∂(σr)/∂r]+[∂(τrθ)/∂θ]/r+[(σr)-(σθ)]/r+Fr=0
θ成分:1/r∂(σθ)/∂θ+∂(τrθ)/∂r+2(σrθ)/r+Fθ=0

お礼

ご丁寧な回答ありがとうございます。この導出は教科書にのってなかったので助かります。本当にありがとうございました。また何か分からないことがあったら教えてください。