応力の平衡方程式について

質問

ｘ、ｙ、ｚ軸に垂直な面で切って作った辺長ｄｘ、ｄｙ、ｄｚの微少直方体について力のつりあいおよびモーメントのつりあいを考えるとき、
x方向の力のつりあいの式がなぜ下記のようになるのか分かりません。
Ｘは単位体積あたりの物体力のｘ軸方向成分です。

∂／∂ｘ(σｘｄｙｄｚ)ｄｘ + ∂／∂ｙ(σｙｘｄｚｄｘ)ｄｙ + ∂／∂z(σｚｘｄｘｄｙ)ｄｚ + Ｘｄｘｄｙｄｚ = ０

σｘｄｙｄｚ、σｙｘｄｚｄｘ、σｚｘｄｘｄｙは応力*面積なので、ｘ方向の力を表していることは分かるのですが、なぜそれらにｄｘ、ｄｙ、ｄｚをかけてさらに偏微分しているのか分かりません。この式の意味を教えてください。
お願いします。

回答No.1

noname#59437 · ベストアンサー

(x,y,z)～(x+dx,y+dy,z+dz) においてこの直方体を x 方向に歪ませるように働いている力は
(x,y,z) での (σ_x){dydz} と、(x+dx,y,z) での {σ_x+∂/∂x(σ_x)dx}{dydz} との差
∂/∂x(σ_x){dydz}dx と
(x,y,z) での (σ_yx){dzdx} と、(x,y+dy,z) での {σ_yx+∂/∂y(σ_yx)dy}{dzdx} との差
∂/∂y(σ_yx){dzdx}dy と
(x,y,z) での (σ_zx){dxdy} と、(x,y,z+dz) での {σ_zx+∂/∂z(σ_zx)dz}{dxdy} との差
∂/∂z(σ_zx){dxdy}dz の和である。

従って、(x,y,z) において、平衡を保たせるために x 方向に働くべき力 X は、単位体積当たり
-{∂/∂x(σ_x)+∂/∂y(σ_yx)+∂/∂z(σ_zx)} でなければならない。

つまり、平衡に関する式は、
∂/∂x(σ_x){dydz}dx+∂/∂y(σ_yx){dzdx}dy+∂/∂z(σ_zx){dxdy}dz+Xdxdydz=0
である。

お礼

回答ありがとうございます。
分からないところがあるのですが、
{σ_x+∂/∂x(σ_x)dx}{dydz}
は何を表しているのでしょうか？
σ_xにdxをかけて偏微分している∂/∂x(σ_x)dxが何を表しているのか分からないため、式の意味が全く分かりません。
宜しくお願いします。

回答No.2

noname#59797

> σ_xにdxをかけて偏微分している∂/∂x(σ_x)dxが何を表しているのか分からない
x において、σ_x であるなら、σ_x の x による変化率、{∂(σ_x)/∂x}
に、
x の微小変化 dx を乗じた {∂(σ_x)/∂x}・dx を加え、σ_x の
x + dx に
対応するものとしたのではないでしょうか。