時間領域のインパルス応答と周波数領域での位相特性の関係(デジタル信号処理)

質問

質問失礼します。

デジタル信号処理の分野において、フィルタの特性をみるときに周波数領域にして、振幅特性と位相特性に分けて解析を行っています。

フィルタのインパルス応答をDFTして、振幅成分を正規化して、IDFTしたものと時間領域でのインパルス応答との関係はどうなるのでしょうか？

画像で見てみると、位相限定画像は原画像の特徴を持っているのが視覚的に分かるので何か式などで証明している文献など知っている人がいましたらよろしくお願いします。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

２次元画像における位相限定画像の話？　それとも1次元の時系列信号の話でしょうか。両方が混ざってるような気がしますけど…

> 位相限定画像は原画像の特徴を持っているのが視覚的に分かる

ヒトが見て意味が読み取れるような画像（ふつーの写真は大抵該当）は、「ほぼ均一な画素値を持つ領域が幾つか集まって出来ている」と言えます。その領域同士の境界線（エッジ）だけ見れば「原画像の特徴」が大体分かります。で、位相限定画像ってのは一種のエッジ強調画像なんです。いわば写真を下敷きにしてものの輪郭をなぞって線画を描いたような感じです。

　でもご質問が1次元の話のようなので、（それに、説明が簡単なので）1次元で考えます。エッジを持つ信号として最も単純な、符号関数 sgn(t)
sgn(t) = if t>0 then 1,if t<0 then -1）
を考えてみると、そのフーリエ変換Fは（πだの何だの、ごちゃごちゃした定数倍を無視して）
F(ω)=-i/ω
である。振幅を正規化すると、
G(ω)=F(ω)/|F(ω)|=-i|ω|/ω = -i sgn(ω)
その逆フーリエ変換をgとすると
g(t) = 1/t
となって、これは、元の信号sgn(t)においてt=0のところにあった段差を、うんと強調したものになっていると言えます。（実際、|ω|は明らかに低域カット・高域強調を行うフィルタです。なお、その逆フーリエ変換は（この計算には超関数のフーリエ変換を使いますが、）-1/t^2。ただしt=0のところは+∞に飛んでいます。）
　一般にエッジにおいては、いろんな周波数の成分の位相がほぼ揃っている。しかも、エッジ近辺では高周波成分の振幅は比較的小さく、低周波成分の振幅は比較的大きい（sgn(t)ほどはっきりしたエッジじゃない場合なら、なおさらこの傾向が強い）。で、それらの成分の振幅を同じレベルに揃えるのが振幅の正規化なんだから、低域が抑えられ、高域が強調される。でも位相は揃ったまま。その結果、エッジが強調されて浮き出してきます。（2次元画像の場合も、本質は同じことです。）
　この性質は、「見分ける際に、輪郭の情報が重要であるようなもの」を対象にしたパターンマッチングを行うのに応用できる。すなわち、対象画像とテンプレートを共に位相限定画像に変換して輪郭を強調し、それから相互相関を計算する。そうすれば、元の画像同士で相関を取るよりも旨く行く。なぜなら、エッジが重視され、一方、照明ムラ（低周波成分の違い)、あるいは明暗やコントラスト（振幅）など、エッジ以外の違いにはあまり影響されない。(位相限定相関法と呼ばれてます。）