近似曲線の式

質問

y(x+a)=b+c(x+a)
この式の係数a,b,cを最小二乗法で求める式を導き出しなさい。

という問題が出て、解いてみたのですが合っているのか自信がありません。
解き方のわかる方、回答をのせてください。

回答No.2

age_momo · ベストアンサー

単純な計算間違いでしょう。

>-29.27+3.9A+55.86B+16.2C=0

-39.39+3.9A+55.86B+16.2C=0

です。

A=-1,B=1.5,C=-2.5

a=1.5,b=1,c=1 ですね。
[y(x+1.5)=1+(x+1.5)]

ところでr=1になりますから
最小二乗法でなくても方程式でも解けるでしょね。

お礼

ありがとうございました。
確かに計算間違いですね。
助かりました( ノ￣∇￣)ノ

回答No.1

Mathematica

最小二乗法の意味を理解していますか？
理論値と実測値の差の平方和を偏微分して最小となる係数を求めることですが、この式だけでは求められないことは理解できますか？
自分で解いたのなら、先ず回答を記載するのが礼儀です。

お礼

すいません。。。
おっしゃるとおりですね。

軌跡の何箇所かの座標は次のようであった
x(cm),-1.3, -1.0, -0.5, 0.5, 1.0, 3.5, 8.5
y(cm), 6.0, 3.0, 2.0, 1.5, 1.4, 1.2, 1.1

ココからが回答です。

y(x+a)=b+c(x+a)
変形して
xy+ay=b+cx+ac
xy+ay-cx-b-ac=0
ここで、A=-c,B=a,C=-ac,とおくと、
xy+Ax+By+C=0

最小二乗法をつかって、
S=Σ(xiyi+Axi+Byi+C)^2
Sが最小になるA,B,Cを考えて、

∂S/∂A=2Σ(xiyi+Axi+Byi+C)(xi)=0
∂S/∂B=2Σ(xiyi+Axi+Byi+C)(yi)=0
∂S/∂C=2Σ(xiyi+Axi+Byi+C)・1=0

ここで、Σxiyi=[xy]と置くと、

[x^2y]+A[x^2]+B[xy]+C[x]=0
[xy^2]+A[xy]+B[y^2]+C[y]=0
[xy]+A[x]+B[y]+nC=0

[x]=10.7 [y]=16.2 [x^2]=88.69 [y^2]=55.86
[xy]=3.9 [x^2y]=109.59 [xy^2]=-29.27

よって、
109.59+88.69A+3.9B+10.7C=0
-29.27+3.9A+55.86B+16.2C=0
3.9+10.7A+16.2B+7C=0

三つの式を解いて
A=-1.24 B=0.68 C=-0.24

よって近似曲線の式は
xy-1.24x+0.68y-0.24=0

こうなりました。あっているでしょうか？