数学的帰納法について

質問

いつもありがとうございます。

以下の問題でちょっと疑問を感じましたので
どなかた教えて頂けないでしょうか。

「
n=1,2,3・・・　のとき、3^n>n^2　が成りたつことを証明せよ
」

との問題で、

「
n=1のとき成りたつ。
n=k(K=2,3,4,・・・)のとき、
3^k>k^2が成り立つと仮定する。

3k^2-(k+1)^2=3k^2-(k^2+2k+1)=2(k-1/2)^2-3/2≧0
(ただし、k≧2)

よって、n=k+1の時も成り立つ」

とあるのですが、

何で、
「n=k(K=2,3,4,・・・)のとき、」
や
「ただし、k≧2」
のように、
k=1が入っていないのに、証明出来たことになるのでしょうか？

k=1だと、3k^2-(k+1)^2はマイナスになってしまいますし、
k=1のことを何かしら明記しないといけないのではないでしょうか？

どなたか教えてください(>_<。)HelpMe!!

回答No.4

arrysthmia · ベストアンサー

その証明に欠けているのは、むしろ n=2 のときのことです。

k=1 だと 3k^2-(k+1)^2 はマイナスになってしまいますから、
そのために、
「 n=k (k=2,3,4,…)のとき、3^k>k^2が成り立つと仮定する 」
と扱っているのでしょう。
後は、n=2 のときに成立することを書いておけば、
n=2,3… のとき 3^n>n^2 が成りたつことの証明が
数学的帰納法で完成します。

n=1 のときのことは、それとは別に示すことになります。
証明の冒頭に「 n=1 のとき成りたつ 」と明記してありしたね。

n=1,2 のときの成立は、3^n>n^2 に n=1, n=2 を代入してみれば
確認できます。一言そう書いておけばよいでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。

>後は、n=2 のときに成立することを書いておけば、
>n=2,3… のとき 3^n>n^2 が成りたつことの証明が
>数学的帰納法で完成します。
そういうことですね！

今は、完全に理解出来ました♪

ありがとうございました♪

回答No.5

HAMA2

ｋ＝１が抜けているということは、この問題に於いてはｎ＝２の時がどうなっているかと言うのが不明瞭になっているため、照明できたことになってません

しかし、ｎ＝２に関しては与式に代入すれば簡単に示せます
なので、ｎ＝１を示したと言うことと同時に触れておけば問題はありません

お礼

ご回答ありがとうございます。

>いてはｎ＝２の時がどうなっているかと言うのが不明瞭
そういうことですね。

ｎ＝２が成り立つことをきちんと代入して明記しないといけないですね！

ありがとうございました♪

回答No.3

koko_u_

>k=1が入っていないのに、証明出来たことになるのでしょうか？
ならないですね。

「n=k を仮定して n=k+1 の場合を示した」

のが、k=2,3,4,… であれば、

「n=1 を仮定して、n=2 の場合」

のステップが抜けているため、最初のステップ n=1 の成立から話が進展しない。

お礼

ご回答ありがとうございます。

>>k=1が入っていないのに、証明出来たことになるのでしょうか？
>ならないですね。
んっ・・・

やはり、この場合は証明出来たということにはならないのでしょうか・・・(?_?)

>「n=1 を仮定して、n=2 の場合」
>のステップが抜けているため、最初のステップ n=1 の成立から話が進
>展しない。
あっ！
ひょっとしてこの場合ですと
ドミノ倒しにたとえると、きちんとn=2が倒れることを明記しないといけないということですね。
n=2が倒れることを明記して、n=k+1(k≧2)の時が成り立つのを証明すればいいんですね。そして、別に(?)n=1の時も明記すれば、全て証明出来たことになるということでしょうか？・・・ですよね？^^

何だか分かったような気がします！

ありがとうございました(^人^)

回答No.2

774danger

3^n>n^2で、n=1のときは、
3^1 = 3, 1^2 = 2になりますから、
3>2になり明らかに成り立ちますよね?

丁寧に書くなら代入した結果を書いて「n=1のときも成り立つ」と書けばいいと思います

お礼

ご回答ありがとうございます。

>3>2になり明らかに成り立ちますよね?
はい！成り立ちます^^

代入した結果も書くようにしますね。

ありがとうございました♪

回答No.1

noname#69061

＞何で、「n=k(K=2,3,4,・・・)のとき、」や「ただし、k≧2」のように、k=1が入っていないのに、証明出来たことになるのでしょうか？

n=1のとき成りたつ。
n=k(K=2,3,4,・・・)のとき、
と場合わけして，n＝１のときに成り立つって自分で書いてるじゃないですか。

＞k=1だと、3k^2-(k+1)^2はマイナスになってしまいますし、k=1のことを何かしら明記しないといけないのではないでしょうか？

　明記しないといけません。

お礼

ご回答、ありがとうございます^^

>n=1のとき成りたつ。
>n=k(K=2,3,4,・・・)のとき、
>と場合わけして，n＝１のときに成り立つって自分で書いてるじゃない
>ですか。
あっ・・・
そういうことだったんですね＞＜；

今、気付きました；

ありがとうございました♪