インパルス応答と入力信号から出力信号を求めるとき・・（本当に困っています。お願いします。）

質問

こんにちは。
ディジタル信号処理の勉強をしていて、どうしてもわからずにずーっと困っている問題があるのでご指導お願いします(> <;)

問題は、
h(t)=1(0≦t≦1),0(その他のt)のインパルス応答を持つシステムに、
x(t)=t(0≦t≦1),2-t(1≦t≦2),0(その他のt)のような信号が印加された。
出力波形がどうなるかを示せ。

というものです。
実はこれは教科書の問題で、答えは分っています。
ただ、考え方がわかりません。
h(t)*x(t)=∫[-∞→∞]h(τ)x(t-τ)dτとおいて、
h(τ)を固定したτ軸のグラフで考えていますが、
x()が上下左右に動くので良く分からなくなってしまいます。

答えは
0≦t<1;y(t)=0.5t^2,
1≦t≦2;y(t)=-(t-3/2)^2+3/4,
2≦t≦3;y(t)=0.5(t-3)^2,
t<0,t>3;y(t)=0　
グラフは0≦t≦3で上に凸の山型のものになっています。

この、数パターンのtの範囲はどうやって考えればいいのでしょうか。
他の問題を試しても、自分では＜だと思っていたものが≦だったり、
tの範囲がまったく見当がつかなかったりして困っています。

どなたか教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

rapspitz · ベストアンサー

y(t)=h*x(t)=∫[-∞→∞] h(t-s) x(s) ds, ここでs=t-τ
　　=∫[t-1→t] x(s) ds

x(s)は[0～1～2]（仮にA）で定義されているので区間[t-1,t]（幅１、仮にB）がどこにくるか調べる。

BがAと重ならない場合（t<0） 0
Bが0を挟む場合(0 ≦t≦ 1) ∫[0→t] s ds =t^2 /2
　 1を挟む場合(1 ≦t≦ 2) ∫[t-1→1] s ds +∫[1→t] 2-s ds =～
2を挟む場合(2 ≦t≦ 3) ∫[t-1→2] 2-s ds =～
BがAと重ならない場合（t＞3）0

お礼

返事が遅くなってしまい申し訳ありません。
いただいた回答をもとに解いたところ、
大分理解することができました。
時間はかかりますが、自分の力で解くことができるようになりました。
本当にありがとうございます。
助かりました。