球ベクトルで困ってます；；

質問

球面 x^2 + y^2 + z^2 =3　が直線 x=y/2=z-1　から切り取る線分の長さを求めよという問題があるのですが、なかなか答えが見えてきません；；　詳しく教えていただけたら幸いです

僕なりに色々考えたのですが、まず球体がありそれを直線が横切ると思っています。　すると、その切り取られた部分は“弧”の形になるのは間違っていませんよね??　その弧の長さを求めようとするには2つの式を連立させて接点（二箇所）を求め、その二点の座標の差が線分の長さになる・・・　と思うのですが結局良く分かりません
詳しい方が居られたら教えを乞いたいのですが　教科書等を読んだのですが球ベクトルについては詳しく触れていないため困っています；；
どうか、よろしくお願いします

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

球の中心は原点だから, 原点からその直線までの距離がわかれば弦の長さもわかりますね.
直線 x = y/2 = z-1 の方向ベクトルは (1, 2, 1) だから, 原点を通りこの直線に垂直な平面は x + 2y + z = 0 で, この平面と直線の交点は (z-1) + 4(z-1) + z = 0 から z = 5/6. つまり x = -1/6, y = -2/6 なので原点からこの直線までの距離は √((1/6)^2 + (2/6)^2 + (5/6)^2) = √(5/6). 球の半径は √3 なので, 切取る弦の長さは
2√((√3)^2 - (√(5/6))^2) = 2√(3 - 5/6) = 2√(13/6)... 本当か?

お礼

ありがとうございます。
自分でやってみて、同じになったので安心です＾＾
ちなみにというか、やっぱり”弦”でしたか。。

回答No.3

kumipapa

#1 でも 2√(13/6) になりました・・・ほっ
＞ #2 さん

x^2 + y^2 + z^2 = 3 で x=k, y=2k, z=k+1 として k について解くと
k = (-1 ± √13)/6
|k1 - k2|√6 = 2√(13/6)

回答No.1

kumipapa

＞　その切り取られた部分は“弧”の形
弧ですか？弦じゃなくて？
私が何か勘違いしているかな・・・。

＞　2つの式を連立させて接点（二箇所）を求め、その二点の座標の差が線分の長さになる・・・　と思うのですが

「接点」じゃなくて「交点」ですよね。「２点の座標の差」っていうのも引っかかりますが、流れはその通りだと思いますから、その通り解いてみたらいかがですか？
悩むことじゃないような・・・。交点を求めて、そこから線分の長さを求めるってことですよね。

直線 x = y/2 = z -1 上の任意の点は、(0, 0, 1) + k(1 , 2, 1) = (k, 2k, k+1) で与えられるから、これを x^2 + y^2 + z^2 = 3 に代入して k について解けば、2つの実数解が得られますよね。そいつらが 2 つの交点を表す k であって、それらを k1, k2 とすれば、2点間の距離は |k1 - k2| √6 かな。√6 っていうのは、上の表記で用いた直線の方向ベクトル(1, 2, 1) の長さ。

どこが分からないのかが分からないので、とりあえずこんな所で。お分かりにならない点をもう少し具体的に示してください。

お礼

弧か弦か質問文読んだ感じではよく分からなかったので、それも含めて質問させて貰いました。ベクトル自体学校（アメリカ）で習わなかったので大学に入って、いきなりベクトルの球は僕にとっては重い問題でした。
考え方はあってると聞いてホッとしました。
解法も乗せて頂き感謝です。　ありがとでした