代数的重複度が幾何学的重複度より大きくなっている例を挙げよ

質問

宜しくお願い致します。

[問]Vを有限次元線形空間とする。
ある固有値の代数的重複度(固有方程式の解の重複度)が幾何学的重複度(固有空間の次元)より大きくなっている例を挙げよ。

という問題なのですがどのような例が挙げられますでしょうか?

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

固有値が、次の特性方程式から得られるのは、ご存知と思います。

　　det(Ａ－λＥ)＝
　　(λ－λ1)^(n1)・(λ－λ2)^(n2)・・・(λ－λn)^(nm)＝0

ここで、dim(Ｆ)＝n，n1＋n2＋・・・＋nm＝n で、Ｅは単位行列です。一方、ケイリー・ハミルトンの定理より、同じ固有値λ＝λ1，λ2，・・・を用いて、

　　(Ａ－λ1Ｅ)^(n1)・(Ａ－λ2Ｅ)^(n2)・・・(Ａ－λnＥ)^(nm)＝0

です。

　　(Ａ－λiＥ)^(ni)Ｖi＝{0}

で定義される部分空間Ｖi（部分空間になります）の事を、固有値λiに属する高さniの根空間と呼ぶ事にします。
　まず、ケイリー・ハミルトンの定理と、線形写像としてのＡの性質から、全空間Ｆは、根空間Ｖiの直和になる事が導けます（たいていユークリッドの互助法を使いますが）。(＋)は直和です。

　Ｆ＝Ｖ1(＋)Ｖ2(＋)・・・(＋)Ｖm

　次に、det(Ａ－λＥ)＝0 が、(Ａ－λＥ)x＝0 かつ x≠0 の必要十分条件である事を考えると、各根空間Ｖiが、少なくとも一本固有ベクトルを含む事は明らかです。従って、

　固有空間の次元 ≦ 根空間の次元 ＝ 固有値の重複度（＝は、あなたがやったように示されます）

になります。さらに全ての 重複度＝1 なら、全空間は固有空間で直和分解されるので、Ａは対角化可能で、固有空間の次元 ＝ 固有値の重複度 ＝ 1 です。そうでない時は、Ａは対角化できるかできないかのどちらかです。対角化できるならば、必ず固有空間の次元 ＝ 固有値の重複度 ≠ 1 です。対角化不能なら、必ず固有空間の次元 ＜ 固有値の重複度 ≠ 1 になります。
　こっから先は、いくつかの方法があります。単因子論を用いれば、純代数的に Jordan の標準形が得られます。根空間の基底をうまく整理して Jordan の標準形を系統的につくる方法もあります（グラム・シュミットの直交化に一種似ています）。
　ここまで来れば、例は明らかと思います。対角化できない Jordan の標準形を見つければいいだけです。例えば 2×2 の Jordan の標準形に対して、直接固有ベクトルを計算して、固有空間の次元 ＜ 固有値の重複度 を示し、任意の正則行列で相似変換したものを、例にするなんて手もあります。

お礼

詳細なご説明誠に有難うございます。

1 1
0 1

の場合が代数的重複度は、２、幾何的重複度は、１となりました。

回答No.1

noname#221368

このままでは「丸投げ質問」と判断されて、削除対象になる可能性があります。補足を書いて下さい。

　わかってしまえば、例は一瞬で出てくるのですが、固有値の重複度と固有空間の次元の関係は、最初はやはり戸惑うと思います。それに完全に説明するためには、対角化可能定理とか Jordan の標準形とかも絡んで来ますし、この場で完全な説明は不可能です。出来るのは、背景説明と方針を述べるのが、関の山だろうと思います。

　　・講義でどこまで聞いたか、または覚えているか。講義の内容によって、応え方も変わります．
　　・例えば、Jordan の標準形をググってみたら（調べたら）、どんな事がわかったか．

などを補足に書いて下さい。

補足

ご回答有難うございます。

> などを補足に書いて下さい。

下記の命題は証明できました。

[問] 固有値の幾何学的重複度は代数的重複度を越えない事を示せ。
[証]nを有限次元のF線形空間Vの次元とし,fをVからVへの線形写像,S(λ1)をfの固有値λ1に対する固有空間,{v1,v2,…,vm} (m=dimS(λ1))をS(λ1)の基底,{v1,v2,…,vm,v(m+1),…,vn}をVの基底とするとfの表現行列は
λ1E_m (*)1
O (*)2
という形に書ける(E_mは単位行列,Oは零行列)。
その時,λ1の固有多項式は
λ1E_m-λE_m (*)1
O (*)2-λE_(n-m)
の行列式でこれは
det(λ1E_m-λE_m)det((*)2-λE_n-m)
=det((λ1-λ)E_m)det((*)2-λE_(n-m))
=(λ1-λ)^mdet((*)2-λE_(n-m))
従ってλ1の代数的重複度はmでdimS(λ1)より小さくならない。
よって 固有値の幾何学的重複度は代数的重複度を越えない

というのは示せたのですが…。