にゃんこ先生の自作問題、1234を用いて作られる3ケタの整数の和

質問

にゃんこ先生といいます。

1234を用いて、3ケタの整数を作る。
重複を許すとき、4^3=64個の数の和は？
期待値は？
積は？

重複を許さないとき、4P3=24個の数の和は？
期待値は？
積は？

期待値は両方とも、111*(1+2+3+4)/4ににゃると予想するのですが正しいのでしょうか？

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

たった64個，24個だったら
全部書き上げて処理すればすぐでしょう？

重複を許せば
和は17760，
平均は277.5，
積は
4966811192542085683238926239418277260
6325775057206737907501776889640845912
8109657825868863691664641770328651755
5269892752513749721128561772268240005
758976

重複を許さなければ
和は6660
平均は277.5
積は
5299317689977433737421862409164288462736498478727032733696

和は計算は比較的容易なので平均も容易でしょう．
積は人間の計算だと無理でしょう
＃上の計算はプログラム書いて計算

重複OKの場合は
100の位にX => 16通り
10の位にX => 16通り
1の位にX => 16通り
よって，111*(1+2+3+4)*16=17760
平均は 64で除算して 277.5

重複が駄目な場合はちょっと難儀
けどもこれも例えば
100の位が1なら，残りは，23 32 34 43 だし
すぐ計算できます．

平均が同じなのは
重複分が「つぶれる」からでしょう．

自明な拡張をしてみます．
自然数n，mをとる．
n進数m桁の数を作る．
このとき，各桁の数字はn進数で1からkまでとする．
このようにして作られる数は何通りあるか
和，平均も求めよ（解は10進数で表記せよ）．
ただし「重複を許す」「許さない」のそれぞれで答えよ．

お礼

ご返答感謝いたします。
この自作問題の発端は、有名にゃ次の問題です。
a=(p^α)(q^β)(r^γ)・・・
の正の約数の個数は
T(a)=(1+α)(1+β)(1+γ)・・・
正の約数の総和は
S(a)=(1+p+・・・+p^α)(1+q+・・・+q^β)(1+r+・・・+r^γ)・・・
正の約数の総積は
a^{T(a)/2}
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node16.html
を参照

1からkまでの数を重複を許して、m個並べる。
これを、n進数m桁の数とみにゃす。
総数は、k^m
平均は、(1+n+n^2+・・・+n^m) * (1+2+3+・・・+k)/k
総和は、k^m * (1+n+n^2+・・・+n^m) * (1+2+3+・・・+k)/k
総積は、？？？

1からkまでの数を重複を許さにゃいで、m個並べる。
これを、n進数m桁の数とみにゃす。
総数は、kPm
平均は、(1+n+n^2+・・・+n^m) * (1+2+3+・・・+k)/k
総和は、kPm * (1+n+n^2+・・・+n^m) * (1+2+3+・・・+k)/k
総積は、？？？

上の述べたことで、総積がどのように書けるのか分かりません。
上では、平均を元に総和を推測しましたが、直接的に総和の式を導くにはどうしたらいいのか分かりません。

もしご興味あればお願いいたします。

回答No.2

willkari

和や期待値の場合は
処理しなくてもすぐでしょうね。

重複を許す場合
まず、期待値を求めます。
期待値は、にゃんこ先生のおっしゃるとおり、
111×（1+2+3+4）÷４でOKです。
和は、期待値×64　or　24
ですからね～

ただし、積の場合はやはりプログラム必要ですよ。
一般人の計算では何十時間もかかります。

お礼

ご返答感謝いたします。
この自作問題の発端は、有名にゃ次の問題です。
a=(p^α)(q^β)(r^γ)・・・
の正の約数の個数は
T(a)=(1+α)(1+β)(1+γ)・・・
正の約数の総和は
S(a)=(1+p+・・・+p^α)(1+q+・・・+q^β)(1+r+・・・+r^γ)・・・
正の約数の総積は
a^{T(a)/2}
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node16.html
を参照

1からkまでの数を重複を許して、m個並べる。
これを、n進数m桁の数とみにゃす。
総数は、k^m
平均は、(1+n+n^2+・・・+n^m) * (1+2+3+・・・+k)/k
総和は、k^m * (1+n+n^2+・・・+n^m) * (1+2+3+・・・+k)/k
総積は、？？？

1からkまでの数を重複を許さにゃいで、m個並べる。
これを、n進数m桁の数とみにゃす。
総数は、kPm
平均は、(1+n+n^2+・・・+n^m) * (1+2+3+・・・+k)/k
総和は、kPm * (1+n+n^2+・・・+n^m) * (1+2+3+・・・+k)/k
総積は、？？？

上の述べたことで、総積がどのように書けるのか分かりません。
上では、平均を元に総和を推測しましたが、直接的に総和の式を導くにはどうしたらいいのか分かりません。

もしご興味あればお願いいたします。