三角関数についての質問です。

質問

θに関する方程式sinθ-kcosθ=2(1-k)が-π/2<θ<π/2の範囲に解をもつように、定数ｋの値の範囲を求めよ。

という問題なのですが、鍵マークの2番目の部分がよくわかりません。

解説には「『θが存在する』⇔『x、yが存在する』です。x、yは(1)かつ(2)を満たしますから(1)と(2)の表す図形が共有点をもつことが条件になります」とあったのですが、ちょっとよくわからないです。

もう少し噛み砕いて説明をお願いできませんでしょうか。

回答No.2

shuu_01 · ベストアンサー

＞　思考の流れとしては、sinとcosの問題で、
＞　合成でもいいけど、与えられた範囲が普通とは
＞　違ってやりにくいから単位円で考えた、
＞　そして馴染みのある関数の共有点の問題に
＞　帰着させた、でよろしいでしょうか。

√（1+k^2）で割って、三角関数の加法定理で
合成はできるけど、2(1-k) / √（1+k^2）
は扱いにくく、行き詰まってしまいます
（数学 すごい得意な人なら計算できちゃうのかな）

単位円の円周上の点 （x, y）と考えた方が、
幾何学も使うと、なんとか計算可能になりそう

という思考の流れです

ただ、解説を見ると「なるほど」と思うけど、
自力で思いついたかと聞かれると、自信ありません

回答No.3

178-tall

添付の答案例では、正弦波を x-y 座標の単位円周に換算してますネ。
その「通訳」が難解なのでしょう。
いくら読んでも意味不明ならば、正弦波のまま勘定した結果と照合してみるのも一手。

合成算式を使えば、
　sinθ - kcosθ = √(1+k^2) sin(θ-γ)　　: γ= arctan(k)

この合成波形に 2(1-k) の高さの横ラインが交わるには、
　√(1+k^2)≧2(1-k)　　　…(1)
が成立せねばならない。

(1) にて等号が成立するのは
　k = (4±√7)/3
　… …

更にθの指定範囲など、いろいろ吟味を要しますが、アバウトな「照合」の一手になりませんか？

回答No.1

shuu_01

「θに関する方程式sinθ-kcosθ=2(1-k)が
　-π/2<θ<π/2の範囲に解をもつように、
　定数ｋの値の範囲を求めよ。」

という問題は

「（x, y） は O を中心とする半径 1 の円の
　右半分の上にある点です
　y －kx ＝ 2（1 - k）　が解をもつように
　定数ｋの値の範囲を求めよ。」

って問題を解くのと同じだから

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど。そう言われるとちょっとわかった気がします。

思考の流れとしては、sinとcosの問題で、合成でもいいけど、与えられた範囲が普通とは違ってやりにくいから単位円で考えた、そして馴染みのある関数の共有点の問題に帰着させた、でよろしいでしょうか。