絶対値のついたグラフ

質問

|X－8｜＞X/3－2を満たすXの値の範囲を求めよ。という問題なんですが
|X－8|のグラフを書いたところでいきずまってしまいました。
簡単かもしれませんが、教えていただけないでしょうか？宜しくお願いします。

回答No.7

fushigichan

こんばんは！！うわ！！ごめんなさい。
ＡとＢの間だと、逆ですよね～～。
しかもＡのｘ座標が７．５って出てるのに
なんで間違えたんだろう・・

ともかく、ややこしくてすいませんでした。
（以下もう一度訂正）
y=|x-8|のグラフを書いてみましょう。
これは、y=x-8のグラフを、ｘ軸で折り返した形のグラフです。
（y=x-8のｘ軸より下の部分を、折り返す）
y=x-8がｘ軸と交わる点で折り返すことになります。
したがって、8≦xの部分では、y=x-8
x＜8の部分では、このグラフはy=-x+8という方程式になります。

さて、これがy=x/3-2とどうかかわってくるか・・ですよね。
いま書いたグラフのほうが、y=x/3-2よりもＹ座標が上である部分、
つまりさっきのグラフが上にきているようなｘの範囲を
求めればいいのです。

ですから、交点Ａ，Ｂを求めてみましょう。
交点Ａは、y=-x+8,y=x/3-2の交点ですから、
-x+8=x/3-2
これを解いてx=15/2
交点Ｂは、y=x-8,y=x/3-2の交点ですから、
x-8=x/3-2
これを解いてx=9と出ます。
したがってグラフより求めるｘの範囲は、ｘ＜15/2 、9＜x
ということがわかります。

次に、オーソドックスな場合わけによる解法です。

|x-8|を場合わけする。
(1)x-8≧0のとき（すなわちx≧8)
x-8＞x/3-2
2x/3＞6であるから、x＞9

(2)x-8＜0のとき
　－ｘ+8＞x/3-2
x＜15/2

(1)(2)より、x＜15/2,9＜x　と求まります。

これが正解でした。みなさん、ありがとう。

回答No.6

nozomi500

ひょっとして、私が、＃４さんをひっかけてしまったかな？
Ｙ＝|X－8｜が、Ｙ＝Ｘ/3－2の「上」になるのは、「間」でなくて「両側」でしたね。
＃５さん、ご指摘ありがとうございます。ご指摘がなければウソツキで終わるところでした。（じっさいにグラフ描いてみりゃわかりそうなもんだが、横着をしてはいけない・・・。反省反省。）

回答No.5

hinebot

#4さん
> 9＜x＜15/2
って、15/2 = 7.5 ですよ。あきらかにおかしいですよね。

こういう問題だと、答えは閉じた範囲（a<x<b の形）って思い込みが働いちゃうんでしょうかね。#2さんも"交点の「間」"って答えてるし。
質問者さん、同じ間違いをしないよう、気をつけてくださいね。

回答No.4

fushigichan

こんにちは。まず、グラフを使った解法です。

y=|x-8|のグラフを書いてみましょう。
これは、y=x-8のグラフを、ｘ軸で折り返した形のグラフです。
（y=x-8のｘ軸より下の部分を、折り返す）
y=x-8がｘ軸と交わる点で折り返すことになります。
したがって、8≦xの部分では、y=x-8
x＜8の部分では、このグラフはy=-x+8という方程式になります。

さて、これがy=x/3-2とどうかかわってくるか・・ですよね。
いま書いたグラフのほうが、y=x/3-2よりもＹ座標が上である部分、
つまりさっきのグラフが上にきているようなｘの範囲を
求めればいいのです。

ですから、交点Ａ，Ｂを求めてみましょう。
交点Ａは、y=-x+8,y=x/3-2の交点ですから、
-x+8=x/3-2
これを解いてx=15/2
交点Ｂは、y=x-8,y=x/3-2の交点ですから、
x-8=x/3-2
これを解いてx=9と出ます。
したがってグラフより求めるｘの範囲は9＜x＜15/2
ということがわかります。

次に、オーソドックスな場合わけによる解法です。

|x-8|を場合わけする。
(1)x-8≧0のとき（すなわちx≧8)
x-8＞x/3-2
2x/3＞6であるから、x＞9

(2)x-8＜0のとき
　－ｘ+8＞x/3-2
10＞4x/3ですから、15/2＞xとなります。

(1)(2)より、9＜x＜15/2　と求まります。

グラフを使って考えるのは、イメージ的に分かりやすいと思います。
ｘ＝８を境に場合わけしているので、どちらのやりかたも
結局は場合わけしてることになりますね。
がんばってください。

回答No.3

hinebot

本当はご本人に考えてもらった方がいいんですが…。

>「交点」を求めて、その「間」が「前者が上」の区間ですね。
「間」じゃないですよ。グラフをよく見てみましょう。
「間」以外の部分であることが分るハズです。

参考）【場合分けして解く方法】
i)X-8≧0 すなわち　X≧8 のとき
与式は
X-8 > X/3-2
(2/3)X > 6　∴ X > 9 (>8)

ii)X-8＜0 すなわち　X＜8 のとき
与式は
-(X-8) > X/3-2
-X+8 > X/3-2
-(4/3)X > -10 ∴ X < 15/2　(< 8)

i)ii)より求める範囲は　X<15/2 または 9<X

回答No.2

nozomi500

グラフは描けた、ということでしょうか？
（たぶん、Ｙ＝│Ｘ-8│と、Ｙ＝Ｘ/3-2のグラフを描いて、前者が「上」になる部分を考えているのでしょう？）

前者はＶ型になっているから、
「交点」を求めて、その「間」が「前者が上」の区間ですね。

Ｘ＝8のところで正負が変わるので、X－8＝X/3－2と、－（X－8）＝X/3－2で「交点」を見ないといけない。

回答No.1

hinebot

絶対値の定義を思い出してみましょう。
|a|=±a (≧0）
ですね。
なので、y=|x-8|　のグラフは　y=x-8 のグラフと　y=-(x-8)=-x+8 のグラフを
組み合わせたものになります。
言い換えれば、y=x-8のグラフを　y≧0 となるように、x軸（との交点）で折り返した感じになります。

「|X－8｜＞X/3－2を満たすXの値の範囲を求めよ。」という問題は、グラフで考えるなら、上で考えたy =|x-8| のグラフより　y= x/3 -2 のグラフが下になるようなXの範囲ということになります。

この問題の場合、場合分けして普通に不等式を解いた方が早いと思うんですけど。
（x-8≧0 のときと x-8＜0 のときで場合分けします。）
後は、ご自分で考えてみてください。

お礼

はい、結局不等式で解きました。あっさりと出せました。回答有難うございました。