仕事量

質問

センター試験用の問題集をやっていたら以下の様な問題がありました。

　角度30度の摩擦のある坂を質量mの物体が上っていて、Ａ点での速度はv0、
　Ｂ点での速度はvであった。このとき、Ａ→Ｂの間に物体にかかるすべての
　力（重力、垂直抗力、摩擦力）がする仕事を求めよ。

で、答えは運動エネルギーの差で1/2mv^2-1/2mv0^2です。
解説には、仕事の和は運動エネルギーの変化だからとしか書いてありません。

公式でそうなるものはそうなんでしょうが、いまいち理解できません。
具体的に理解する方法（解説）はありますか？

わからないところは、なぜ位置エネルギーの変化がその式に入らないかです。
位置エネルギーが増えてるのに・・・

回答No.1

mmky · ベストアンサー

考え方まで
[わからないところは、なぜ位置エネルギーの変化がその式に入らないかです。 位置エネルギーが増えてるのに・・・]
質問者の疑問は、その通りですね。
問題は置いておいて、疑問の通りやってみましょう。
質量ｍをある高かさｈ1からｈ2まで持ち上げるとすると、
そのときの位置エネルギーの変化ΔEは、
ΔE=ｍｇ（ｈ2-ｈ1）　　　ここでｇ：重力の加速度
一方、考え方を変えて運動エネルギーの変化を考えます。
高さｈ1の時ｍの速度V0、高さｈ2の時ｍの速度V1としますと
運動エネルギーの変化ΔK＝（1/2）ｍ（ｖ1＾2-ｖ0＾2）
ですね。
「質量ｍが上っていき」ということなので外部からの力はありませんね。
だからエネルギー変化は同じですから
ΔE＝ΔK＝ｍｇ（ｈ2-ｈ1）＝（1/2）ｍ（ｖ1＾2-ｖ0＾2）
ということで、位置変化であらわすか、速度変化であらわすか
ということになりますね。
そこで、問題ですが「すこしひっかけ風」ですが、問題の中に
速度しかないので運動エネルギー変化を速度で表すということになっている。ということかなと思います。
参考まで

お礼

摩擦が無いときのことを考えてみました。それでも物体の速度は減少しますね。
その分が位置エネルギーの増加ですね！

引っ掛け問題のような感じでした。理解してみると単純ですね。
ありがとうございました！

回答No.3

nubou

ｔを時間とし
物体の位置ベクトルをｒ（ｔ）とし
Ａ点の位置ベクトルをａとし
Ｂ点の位置ベクトルをｂとし
物体がＡ点にいる時間を０とし
物体がＢ点にいる時間をＴとし
物体に働くすべての力ベクトルの和ベクトルをｆ（ｔ）としたとき
ニュートンの運動則によって
ｍ・（ｄ／ｄｔ）＾２・ｒ（ｔ）＝ｆ（ｔ）・・・・（＊）
上式の両辺にｄｒ（ｔ）／ｄｔを内積して
ｍ・（（ｄ／ｄｔ）＾２・ｒ（ｔ），ｄｒ（ｔ）／ｄｔ）＝（ｆ（ｔ），ｄｒ（ｔ）／ｄｔ）
上式の両辺を０からｔまで積分して
ｍ・∫（０＜ｔ＜Ｔ）ｄｔ・（ｄ／ｄｔ）・｜ｄｒ（ｔ）／ｄｔ｜＾２＝∫（ａ→ｂ）（ｄｒ，ｆ）
従って
ｍ・（ｖ＾２－ｖ０＾２）／２＝∫（ａ→ｂ）（ｄｒ，ｆ）
ところで∫（ａ→ｂ）（ｄｒ，ｆ）は定義により物体がＡからＢに移動したときにｆ（ｔ）が物体にした仕事だから
ｍ・（ｖ＾２－ｖ０＾２）／２が求めるものである

（＊）式には地上の観測者から見ている場合には地球の自転と地球の公転の影響を入れなければならない
つまり地上は非慣性系だから（＊）式は非慣性系の運動方程式で書き直されなければならない
自転半径と自転周期（約１日）と公転半径と公転周期（約１年）と地球の重心と太陽の重心と物体の場所との位置関係が分かれば修正できる
やかましいことを言えば他の惑星の移動も考慮しなければならない
ただし付加される項は十分小さいので近似式としては（＊）式で十分である
ｆ（ｔ）は摩擦力，空気抵抗，ちりに押される力，坂に押される力，すべての物体（宇宙のすべての星）の引力等の和である

お礼

余計わからなくなりました。

回答No.2

nubou

ｔを時間とし
物体の位置ベクトルをｒ（ｔ）とし
物体に働くすべての力ベクトルの和ベクトルをｆ（ｔ）としたとき
ニュートンの運動則によって
ｍ・（ｄ／ｄｔ）＾２・ｒ（ｔ）＝ｆ（ｔ）
上式の両辺にｄｒ（ｔ）／ｄｔを内積して
ｍ・（（ｄ／ｄｔ）＾２・ｒ（ｔ），ｄｒ（ｔ）／ｄｔ）＝（ｆ（ｔ），ｄｒ（ｔ）／ｄｔ）
上式の両辺を０からｔまで積分して
ｍ・（ｖ＾２－ｖ０＾２）／２＝∫（Ａ→Ｂ）（ｄｒ（ｔ），ｆ（ｔ））
ところで∫（Ａ→Ｂ）（ｄｒ（ｔ），ｆ（ｔ））は定義により物体がＡからＢに移動したときにｆ（ｔ）が物体にした仕事だから
ｍ・（ｖ＾２－ｖ０＾２）／２が求めるものである

ただし（ａ，ｂ）はａとｂの内積

お礼

余計わからなくなりました。