三角関数の因数分解のことでの質問です

質問

三角関数の因数分解のことでの質問です

sin,cosをテイラー展開した

sinx=x-1/3!x^3+1/5!x^5...
cosx=1-1/2!x^2+1/4!x^4...

で、

x=0,±1π,±2π,±3π,...の時にsinx=0になるので
sinx=x(x-π)(x+π)(x-2π)(x+2π)...(x-nπ)(x+nπ)...
=x(x^2-π^2)(x-(2π)^2)...(x^2-(nπ)^2)...
=xΠ(n=1,∞)(x-(nπ)^2)

同様に、
cosx=(x^2-(π/2)^2)(x^2-(3π/2)^2)...(x^2-((2n-1)π/2)^2)...
=Π(n=1,∞)(x^2-((2n-1)π/2)^2)

という風に因数分解(展開？)することができると思うのですが大丈夫でしょうか？
まだまだ未熟なものでこれあっているのかどうかも解らないのですが、
どうもこれだと後の計算がうまく続かず、間違っているように思うのです。
どうでしょうか？

質問に答えていただければ幸いです。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
この内容をもう少し「方程式」としての色合いを強くすると、意味があるようにも思います。

sin(x)= 0という方程式について、

・左辺をテイラー展開すれば、質問でも書かれているとおり
sin(x)= x- 1/3!*x^3+ 1/5!*x^5-・・・

・解は x=x=0,±1π,±2π,±3π,・・・のときですから
x(x^2-π^2)(x^2-4π^2)(x^2-9π^2)= 0

辺々割り算することで
x{1-x^2/π^2}{1-x^2/(4π^2)}{1-x^2/(9π^2)}・・・= 0

と書き換えることができます。

そして、それぞれの左辺を結び付けて「解と係数の関係」を用いると
x^3の係数について、次の式が言えることになります。

1/3!= 1/π^2+ 1/(4π^2)+ 1/(9π^2)+・・・

これを変形すると
π^2/6= 1+ 1/4+ 1/9+・・・
π^2/6= Σ[n=0～∞]1/n^2

これはリーマン予想の中で与えられるゼータ関数のζ(2)の計算の証明になっています。
もっと高い次数の係数を考えると、ζ(4), ζ(6)などの計算を与えることができます。

ですので、ある程度意味はあると思ったのですが。

お礼

まさにこれです。
Σ[n=0～∞]1/n^2=π^2/6
を証明したかったのですがこのように展開すればいいんですね。

とてもすっきりしました。

ゼータ関数など詳しくありがとうございます。
あまりよくは知らないので参考に勉強させていただきます。

ご回答ありがとうございました。

回答No.4

kabaokaba

これは三角関数の無限乗積展開というものです．
確か歴史的にはオイラーあたりが
「因数定理」のアナロジーでひっぱりだしたんだと思う．
この「三角関数の無限乗積展開」はきちんと正当化されます．

実は「ワイエルシュトラスの因数分解定理」ってのがあって
整関数と呼ばれる関数は
零点の位数をもちいて
「無限乗積」に分解されることが分かってます．
したがって
>一般の三角多項式が因数分解できるわけではない。
多少因数分解の意味が変わりますが
できちゃったりするんですよ，これ．
tanはだめだけど，sinとcosは整関数だから
それの多項式も整関数ですんで．

この「因数分解定理」を考えると
与えられた「零点」（位数も与えられている）を持つ
整関数が「無限乗積」で構築できるということがわかるし
それの逆数をとれば
与えられた「極」（位数も与えられている）を持つ
正則関数が構築できるわけで
これって，ガンマ関数の構築法の一つです．
ガンマ関数は「負の整数を一位の極としてもつ正則関数」ですんで．
＃厳密にはもうちょっと条件をつけないと
＃「一意性」がないんだけど
＃そこはスルー．

お礼

>この「三角関数の無限乗積展開」はきちんと正当化されます．

そうなのですか。
知らなかったので安心しました。

ほかにもとても詳しくありがとうございます。
参考に勉強させていただきます。

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

info22_

問題点
■「無限項の積」による因数分解
■ 単項の積で三角関数の多項式が表されるわけではないので、一般の三角多項式が因数分解できるわけではない。

>どうもこれだと後の計算がうまく続かず、間違っているように思うのです。
その通りです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

問題解決のための参考にさせていただきます。

ありがとうございました。

回答No.1

spring135

＞x=0,±1π,±2π,±3π,...の時にsinx=0になるので
sinx=x(x-π)(x+π)(x-2π)(x+2π)...(x-nπ)(x+nπ)...
=x(x^2-π^2)(x-(2π)^2)...(x^2-(nπ)^2)...
=xΠ(n=1,∞)(x-(nπ)^2)

は要するにx=0,±1π,±2π,±3π,...の時にsinx=0を言っているだけで、間違いではありませんが何の使い道もありません。
テイラー展開は連続する実数について成り立つところが重要です。

質問者はsin,cosで何をしたいのですか。

お礼

ご回答ありがとうございます。

Σ1/n^2=π^2/6の三角関数での証明をやってみようと思ったのですが、
どこかで根本からずれてしまったみたいです。

確かにあまり使えそうにないです。

ありがとうございました。