線形代数 直和因子と積集合について

質問

線形代数のテストの問題なのですが、

W1＝{(110),(101)}gen、W2＝{(111),(011)}genであるとき、

W1∩(積集合)W2　および　W1(直和因子)W2の基底を求めよ。

理論、証明、意味は今回は大丈夫なので、

この問題の答えをどなたか教えていただけませんでしょうか。

どのように答えを書けばいいのかわからずテンパっているので、駄文につきましてはご了承ください。

回答No.1

uzumakipan · ベストアンサー

こんばんは、質問者さんの質問はここでのマナー違反であり問題の丸投げですので削除対象となります。ですから、次から質問するときは質問者さんが考えた根拠のようなものも書くようにしてください。

とりあえず、解法の方針を説明したいと思います。
その前に確認ですが、問題文から推測して

W1＝{(110),(101)}gen

はR^3の２つのベクトル（１１０）と（１０１）によって生成される（generate）ベクトル空間という意味ですよね？私は初めてこの記号を見ました。次回からの質問はこういった記号の説明も記すようにしてください。

では解法の方針ですが、
（１）Ｗ1、Ｗ2はそれぞれ平面を成しますので、Ｗ1∩Ｗ2は２つの平面の共通部分（直線）です。
ですから、Ｗ1、Ｗ2 の平面をそれぞれ求めてください。次にこの２つの平面の式を連立させて共通部分の式を求めてください。それからＷ1∩Ｗ2　の基底を求めることができます。

（２）Ｗ1(直和因子)Ｗ2はＷ1+Ｗ2（和空間） のことでは？

dim(Ｗ1＋Ｗ2）+ dim(Ｗ1∩Ｗ2) = dim Ｗ1 +dim Ｗ2

　　の公式よりＷ1＋ｗ2 の次元は３です。よって、（１１０）、（１０１）、（０１１）がＷ1＋Ｗ2 の基底となります。この3つのベクトルが基底となることを基底の定義に従って示してください。

お礼

今回はこのような質問を投稿してしまい誠に申し訳ございませんでした。
genの意味は理解しておらず、説明することが出来ませんでした。

このような質問にご丁寧にお答え頂き大変感謝しております。
ありがとうございます。

(1)にて平面を求めるとありますが、どのようにすれば求まるのでしょうか。
Ax+By+Cz+D=0とするのでしょうか。

無知すぎてすみません。

基底は共通式に当てはまるxyzの値で良いんですよね？

(2)は理解ができました。
誠にありがとうございます。