段付き回転軸のねじりモーメント

質問

段付き中実回転軸があり太い方の直径を2R,細い方を2rとします。(R>r)
許容せん断応力τ[Pa]および応力集中係数K,角速度ω[rad/s]が与えられているときに,軸の許容するねじりモーメントM[Nm]と、伝わる動力W[W]を求めよという問題があるのですが、
ある教科書を読んでいたら同じような問題で使ってる値が違うので混乱してしまいましたので質問させていただきました。

τ>=K*(M/Ip)*半径 (Ip:断面2次極モーメント)
を満たすようにMを決めて,Wはただ単純にMωとすればいいと思うのですが、僕が混乱してしまったのは

Ipおよび半径でどちらの値を使えばいいかということです。

問題のうち片方はRを用いていて、もう一方はrを用いているため、教科書がどっちか間違っているような気がしてならないのですが・・・・

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3791792.html
こちらの質問を参考にするとrを用いるほうが正しいような気もするのですが、よくわかりません。

どちらを使うのか理由と共にお答えいただけるとありがたいです
よろしくお願いいたします。

回答No.2

my3027 · ベストアンサー

>つまり、Zは同じ段付き中実回転軸という形状なら、半径が小さいほうが常に小さくなります。となると、どんな場合でも許容するねじりモーメントが小さいのは断面が小さい方になると思われます。
その通りだと思います。

>ご指摘のあった
"理解のため、両方計算して、大きいτに着目すればいいのでは"
というのはこの場合はそぐわないと思うのです。。(導出過程ではなく"解答そのもの"が、片方はRを用いた値、もう一方はrを用いた値になってます。)
私は学生への練習の為に、あえて両ケースを計算させたと推測しましたが、回答そのもに違いがあるのですか？そうであれば誤植かと思います。初版はミス多いです。

>回転軸の、"軸受け部分が細く、そうでない部分が太いケース"と
"軸受け部分が太く、そうでない部分が細いケース"によって議論が異なるという決まりがある場合です。(たとえば軸受け側が必ず先に壊れるからそっちを常に使うべき、のように。)材料力学の初歩の教科書ですのであまりこういう特殊な話を断りもなくするとは思えないのですが、もしこのような決まりをきいたことがおありになれば、是非僕にお教えください。
私はこの議論は初めて聞きましたので、詳細はわかりませんが、これに関しては材料力学だけでなく、振動工学や磨耗に関する議論が入ってくる為と思います。確かに軸受け部は磨耗します。製品上安全な方を取ると、太くして磨耗してもという考え方もあるかと思います(但し磨耗すると保持部の遊びが大きくなり、軸が暴れると思いますが・・・）。考慮が必要なのは、
・軸系の固有円振動数に軸の曲げ振動が同期すると、共振し大きなたわみが発生する(τ以外に曲げ応力も発生）のでそれを避けた軸径にする必要がある。
・それは危険速度と呼ばれ、レーリー法やダンカレー法がある。(ただの軸ではなく円盤がついてますが、多段軸はある意味同じ）。
・トルクTがTsinωt等の周期関数である場合、系のねじり振動の固有円振動数(円周方向の振動）とTの変動による円振動数が同期すると、上記と同様に共振する。
少なくても以上の要因も実際の設計には関連すると思います。これは機械力学か振動工学で学びます。

お礼

半径が小さいほうが答えであるということですね？
ありがとうございました。

なお、教科書はご指摘の通り初版のものです。
2年前に買ったのですが、重版されていなければ執筆者の一人がうちの大学の教授ですので伝えに行こうかと思います

軸受け部に関するお話もお教えいただきましてありがとうございました。やはり材料力学の範疇を超えているという判断でよろしいということですね？

一応、まだmy3027さんの返答がついてくる可能性を考えて明日まで回答を締切にしませんが、特に何もなければこのまま放置して下さい。

それでは失礼いたします。ありがとうございました。

回答No.1

my3027

>Ipおよび半径でどちらの値を使えばいいかということです。

次元解析すればわかります。
τ：N/m^2
K:無次元
M：N・m
Ip：m^4
以上からM,L,Tで式を解析すると、Ipか半径のどちらかわかります。

>問題のうち片方はRを用いていて、もう一方はrを用いているため、教科書がどっちか間違っているような気がしてならないのですが・
教科書の内容見てないからわかりませんが、理解の為τの大きい方を選ぶ為にRとr両方使って計算しているだけじゃないんですか？両方計算して、大きいτに着目すればいいのでは。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A1%E5%85%83%E8%A7%A3%E6%9E%90

補足

ご回答ありがとうございます。
僕の言い方に不明瞭な点がありましたので訂正させていただきます。

"Ipおよび半径でどちらの値を使えばいいかということです"
についてですが、これはIpを求めるときの積分範囲を0→Rとした方を用いるのか、0→rとしたほうをもちいる(つまり太いほうか細いほうどちらの断面で考えるか)のかということでした。
（つまり、ご回答の後半部分が僕のうかがいたかったところでした）

その後半部分なのですが、
τ>=K*(M/Ip)*半径は　τ>=K*M/Z Z:断面係数
と書き直せますよね。半径をaとしますと
Ip=πa^4/2 よりZ=πa^3/2となります。

つまり、Zは同じ段付き中実回転軸という形状なら、半径が小さいほうが常に小さくなります。
となると、どんな場合でも許容するねじりモーメントが小さいのは断面が小さい方になると思われますので、ご指摘のあった
"理解のため、両方計算して、大きいτに着目すればいいのでは"
というのはこの場合はそぐわないと思うのです。(導出過程ではなく"解答そのもの"が、片方はRを用いた値、もう一方はrを用いた値になってます。)

教科書に関しては著作権上問題をここに書けないので大変伝えにくいのですが、全く同じ問題で数値が違うだけだと思ってます。

ただ、問題に関して一点気になりますのは、
回転軸の、"軸受け部分が細く、そうでない部分が太いケース"と
"軸受け部分が太く、そうでない部分が細いケース"によって議論が異なるという決まりがある場合です。
(たとえば軸受け側が必ず先に壊れるからそっちを常に使うべき、のように。)
材料力学の初歩の教科書ですのであまりこういう特殊な話を断りもなくするとは思えないのですが、もしこのような決まりをきいたことがおありになれば、是非僕にお教えください。
よろしくお願いいたします。

追記：ちなみに問題には図が描いておりません。