円周率と無限の話

質問

ある数学の先生の本に
円周率は無限に続くので、その数字の中にはあらゆる「数列」が含まれる。
源氏物語の文章をデジタル化したときのすべての数列が含まれることも考えられる。
のようなことが書かれていました。
確かに無限に続けば、「なんでもあり」となりそうですが・・。
例えば１兆桁の数列がどこかに再び現れる確率は1となる。
この考え方は正しいのでしょうか？
皆さんの考えを教えてください。

回答No.2

Willyt · ベストアンサー

円周率が無理数であることは証明ずみですが、無限に続くからこれがランダム数列かというとそれは違います。だから無限ランダム数列に適用される定理は円周率には適用できないということになりますね。だから『任意の有限数列が円周率の中で二度以上現われる確率は１である』という命題は当てはまらないということになるのではないでしょうか。

お礼

なるほど。
そうすると、無限ランダム数列であれば
「任意の有限数列が二度以上現われる確率は１である」
の命題は真ということになるのですね。
「無限ランダム数列に適用される定理」とはどういう定理があるのでしょうか？上の命題が定理として証明されているのでしょうか？
遅くなりましたがコメントありがとうございました。

補足

これに類似した質問を過去に見つけましたのでこれで締め切らせていただきます。

回答No.1

NIMBY

確率が１である＝必ず起こりうる
とは現時点では証明しえない
というのが正しいんじゃないでしょうか

円周率が
・正規数とは証明できない
・乱数列とは証明できない
・0,…,9 のどれもが無限に現れるのかどうかすら分かっていない。

3番目が有限であると証明されれば
ご質問の確率は１であるということは否定されるのでしょうけど
逆に無限であると証明されない限り
確率は１であるとも証明できない
(無限である＝質問例の確率が１であるの証明にはならない)

ちなみに数学は高校以降遠ざかってますので
見当違いな意見かもしれませんが

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87

お礼

コメントありがとうございます。
確かに、「無限だからある有限数列が必ず存在する」とは言えないかもしれませんね。